Monotonia successione definita per induzione

[dem1509]

Ciao...devo dimostrare la monotonia di questa successione però non so veramente da dove partire se non dal fatto di supporre che $a_n
$a_1=alpha$
$a_(n+1)=((a_n)^(2q)+2)/(2(a_n)^(q-1))$
con $alpha>0$ e $q>=2$

Potreste aiutarmi con il ragionamento?

[ciampax]

Puoi provare a vedere se la differenza $a_{n+1}-a_n$ risulti sempre positiva o negativa.

[dem1509]

"ciampax":Puoi provare a vedere se la differenza $a_{n+1}-a_n$ risulti sempre positiva o negativa.

Grazie della risposta ma non capisco dove mi potrebbe portare questo ragionamento e poi come faccio a vedere se è a termini positivi o negativi?
$((a_(n+1))^(2q)+2)/(2(a_(n+1))^(q-1))-((a_n)^(2q)+2)/(2(a_n)^(q-1))$ dopo aver fatto questo devo sostituire i valori di $a_n$ con il termine iniziale della serie?

[ciampax]

Che stai scrivendo? Io ho detto di calcolare questo:
$$a_{n+1}-a_n=\frac{(a_n)^{2q}+2}{2(a_n)^{q-1}}-a_n=\frac{(a_n)^{2q}+2-2(a_n)^q}{2(a_n)^{q-1}}=\frac{a_n^q(a_n^q-2)+2}{2(a_n)^{q-1}}$$
Ora, riesci a dire qualcosa su quell'ultima frazione?

Comunque, forse è meglio ragionare con il rapporto:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(a_n)^{2q}+2}{2(a_n)^q}$$
Se riesci a far vedere che questo rapporto è, per esempio, maggiore di 1, allora puoi concludere che $a_{n+1}> a_n$ per ogni $n$.

[dem1509]

Il denominatore è sempre positivo ma non so se lo è anche il numeratore.

[ciampax]

Scusami ma: $a_1=\alpha>0$. Ora, i valori di $a_{n+1}$ si calcolano come il quadrato di un termine più 2 (quindi roba positiva) fratto il prodotto di due termini positivi (a te pare che $a_n$ possa mai venire negativo?).

[dem1509]

Capito! E se io volessi dimostrare tutto ciò con il principio di induzione??

[ciampax]

Dimostrare cosa? La monotonia?

[dem1509]

Esatto!

[ciampax]

Prima di tutto dovresti stabilire se la monotonia possa essere crescente o decrescente, eio direi che è una cosa che dipende da $\alpha$.

[dem1509]

"ciampax":Prima di tutto dovresti stabilire se la monotonia possa essere crescente o decrescente, eio direi che è una cosa che dipende da $\alpha$.

In che modo $\alpha$ incide sulla monotonia? Saresti così gentile da farmi un esempio? Il fatto che esso sia un numero positivo non basta?

[ciampax]

Lo dico per il fatto che, essendoci delle potenze di$\alpha$, iterativamente queste "aumentano", per cui a seconda che $\alpha>1$ o che $0<\alpha<1$ potrebbero venire cose diverse. Comunque, secondo me prima di lanciarti a fare questi discorsi, dovresti capire una cosa: la successione converge? Diverge?

[dem1509]

la successione diverge a + infinito. Questo perché, supponendo che $lim_(n->+infty) a_n=l$, allora anche il limite per $a_(n+1)$ tende ad l. Poi si ha:
$l=(l^(2q)+2)/(2l^(q-1))$ Però da questo punto in poi mi blocco.

[ciampax]

Altolà: stai scrivendo una cosa ma ne dici un'altra. Allora, supponendo che $l$ sia il valore del limite (finito) puoi scrivere quella condizione che si può mettere nella forma
$$2l^q=l^{2q}+2$$
Ponendo $l^q=t$ possiamo risolvere l'equazione $t^2-2t+2=0$ che, come puoi vedere da te, non ammette soluzioni. Quindi questo vuol dire che non ci sono limiti finiti, e che, essendo la successione sempre positiva, l'unica possibilità è che essa diverga positivamente.

Ora, la richiesta di far vedere che è monotona è una richiesta esplicita, o è una cosa che è venuto in mente a te di fare?

[dem1509]

Sì, è una domanda dell'esercizio. Chiede di studiare il comportamento della serie e di calcolarne il limite.

[ciampax]

Bé, allora la cosa è semplice: usando la differenza che ti dicevo $a_{n+1}-a_n$, vogliamo mostrare che tale cosa è sempre positiva (così che $a_{n+1}>a_n$). Ora, se riguardi la forma in qui avevo scritto quella cosa, osserviamo che imporre tale differenza $>0$ implica risolvere la disequazione $a_n^{2q}-2a_n^q+2>0$. Questa equivale alla precedente, ponendo $t=a_n^q$, per cu $t^2-2t+2>0$. Tale disequazione, avendo $\Delta<0$, è sempre verificata per qualsiasi valore di $t$ e, di conseguenza, per qualsiasi valore di $a_n=t^{1/q}$.

[dem1509]

Grazie mille dell'aiuto! Chiarissimo
Potrei chiederti di farmi tre esempi di serie (convergente/divergente/indeterminata) associata successioni non monotone?
Non so proprio come trovarli!:(

[ciampax]

Cerca un po' sul forum perché ce ne saranno a bizzeffe. Così, su due piedi, non me ne vengono-

[gugo82]

"mate947":Ciao...devo dimostrare la monotonia di questa successione però non so veramente da dove partire se non dal fatto di supporre che $a_n
$a_1=alpha$
$a_(n+1)=((a_n)^(2q)+2)/(2(a_n)^(q-1))$
con $alpha>0$ e $q>=2$

Potreste aiutarmi con il ragionamento?

Spoilerizzo una soluzione abbastanza ovvia.

La successione è definita per ricorrenza da:
\[
\begin{cases}
a_{n+1} = \frac{a_n^{2q} + 2}{2\ a_n^{q-1}}\\
a_1=\alpha
\end{cases}\qquad ,\text{ con } \alpha >0 \text{ e } q\geq 2\; .
\]
Innanzitutto notiamo che si ha:
\[
a_n>0
\]
per ogni indice $n$: infatti, è certamente $a_1=\alpha >0$; d'altra parte, supposto che $a_n>0$, risulta pure:
\[
a_{n+1} = \frac{\overbrace{a_n^{2q} + 2}^{\color{maroon}{>0}}}{\underbrace{2\ a_n^{q-1}}_{\color{maroon}{>0}}} >0
\]
e da ciò, per induzione, segue la tesi.
Per studiare la monotonia della successione assegnata occorre e basta stabilire se le differenze:
\[
a_{n+1} - a_n
\]
assumono sempre valori \(\geq 0\) (nel qual caso $(a_n)$ è crescente) o $\leq 0$ (nel qual caso la successione è decrescente).
Dato che:
\[
\begin{split}
a_2 &= \frac{a_1^{2q} + 2}{2\ a_1^{q-1}}\\
&= \frac{\alpha^{2q} + 2}{2\ \alpha^{q-1}}
\end{split}
\]
completando il quadrato al numeratore si trova:
\[
\begin{split}
a_2 - a_1 &= \frac{\alpha^{2q} + 2}{2\ \alpha^{q-1}} - \alpha \\
&= \frac{\alpha^{2q} + 2 - 2\ \alpha^q}{2\ \alpha^{q-1}}\\
&= \frac{\overbrace{(\alpha^q - 1)^2 + 1}^{\color{maroon}{>0}}}{\underbrace{2\ \alpha^{q-1}}_{\color{maroon}{>0}}} \\
&>0\; ,
\end{split}
\]
cosicché la differenza $a_2-a_1$ è strettamente positiva, ossia $a_2>a_1$.
Vediamo se questa relazione vale in generale. Ragionando come sopra, abbiamo:
\[
\begin{split}
a_{n+1} - a_n &= \frac{a_n^{2q} + 2}{2\ a_n^{q-1}} - a_n\\
&= \frac{a_n^{2q} + 2 -2\ a_n^q}{2\ a_n^{q-1}}\\
&= \frac{\overbrace{(a_n^q -1)^2 + 1}^{\color{maroon}{>0}}}{\underbrace{2\ a_n^{q-1}}_{\color{maroon}{>0}}}\\
&>0
\end{split}
\]
cosicché $a_{n+1}-a_n>0$, cioé $a_{n+1}>a_n$ per ogni indice $n$.

Pertanto (anche senza usare in alcun modo l'induzione, né l'ipotesi $q\geq 2$), concludiamo che la successione è strettamente crescente per ogni valore di $alpha$.

Data la monotonia, la successione è certamente regolare ed ha limite \(\ell =\ell (\alpha , q)> \alpha\). Per determinare il valore di tale limite basta cercare di risolvere l'equazione dei punti uniti:
\[
x = \frac{x^{2q} + 2}{2\ x^{q-1}}
\]
e ciò non mi pare impresa difficile.

[dem1509]

Grazie mille a tutti! Molto chiari e disponibili come sempre