Monotonia funzione integrale

[cammeddru]

Salve,
in un test ho trovato questa domanda e la relativa riposta.
Mi da un integrale da x a 10 di e^(sin^2x). Come fa a dire che la primitiva è decrescente?

[mic999]

Studia la derivata prima della funzione integrale....

[cammeddru]

una spiegazione più approfondita non sarebbe male però

[cammeddru]

comunque, vorresti dire che viene $ -int_(10)^(x) e^(sin^2x) dx $ dal quale risulta $ - e^(sin^2x) $ ?

[pilloeffe]

Ciao cammeddru,

"cammeddru":comunque, vorresti dire che viene [...]

Sì. Come dovresti sapere, se

$F(x) = int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $

si ha:

$ F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) $

Nel tuo caso $a(x) = x \implies a'(x) = 1 $, $b(x) = 10 \implies b'(x) = 0 $ e $f(t) = e^{sin^2 t} $, per cui si ha:

$ F'(x) = - f(a(x)) \cdot a'(x) = - e^{sin^2 x} < 0 $

Quindi...