Monotonia delle soluzioni.... e che è??? :!:

[eMiliu]

Mi danno questa equazione diff.:

y'=$y^3-4y$

e mi chiedono:
1)di studiare la monotonia delle soluzioni
2)di studiare concavità e convessità delle soluzioni
e 3) di disegrare il grafico della soluzione $y(x)$ del problema di cauchy associato all'equazione data relativo alla cond. iniziale $y(0)=1$,dopo aver determinato gli eventuali asintoti orizzontali.

bhòòòòòòòòòòòòòòòò

di questo esercizio so fare solo il problema di cauchy(sembre se il mio procendimento nell'altro topic è esatto), ma a parte il resto 0.

help me,please!!

[MaMo2]

Ti chiede semplicemente di studiare le funzioni (derivata prima e derivata seconda) che sono soluzioni dell'equazione differenziale e di disegnare il grafico di una di esse.

[david_e1]

[size=150]Monotonia[/size]

Si osserva che $y=0$ e' soluzione del problema. Come lo sono $y=+-2$

Quindi si studia il generico problema di Cauchy:

$ {(y'=y^3-4y),(y(0)=a):} $

Si puo' osservare che la crescenza/decrescenza della soluzione dipende dal segno di:

$ y ( y^2 - 4 ) $ (1)

Siccome la soluzione non puo' attraversare le linee $y=0 , +-2$ perche' senno verrebbe meno l'unicita' della soluzione si ha che, fissato $a$, il segno della (1) rimane costante per ogni $x$. Quindi la soluzione e' certamente monotona a meno che non sia costante (cosa che avviene solo se $a=0,+-2$).

[size=150]Concavita`[/size]

Derivando l'equazione si trova:

$ y''=3y^2 y' - 4 = 3 y^5 - 12 y^3 - 4$

quindi la soluzione e' convessa nella regione:

$ \{ x \in RR : 3 y(x)^5 - 12 y(x)^3 - 4 \geq 0 \}$

e concava nella regione:

$ \{ x \in RR : 3 y(x)^5 - 12 y(x)^3 - 4 \leq 0 \}$

[eMiliu]

Ok....comincio a capirci....

Ora prendo ad esempio:
Sia $y(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy: y'=$(1+y^2)x^2+x^4$
con queste cond. iniziali: $y(0)=0$

1)mi si chiede di studiare la crescenza/decrescenza;
2)calcolare il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $y(x)$ nell'origine;
3)dire se la soluzione e' limitata;
4)di se la soluzione e' una soluzione in grande,(che che vuol dire soluzione in grande???);

[eMiliu]

In questo non mi potete aiutare???

[coccotutor]

Detto in parole povere, tu hai una y'=f(x,y(x)) e questa f risulta continua nella striscia I x R^n,

Detta y la soluzione e H l'intorno della soluzione, se y e' C1 in H ed H è contenuto in I hai la cosidetta soluzione LOCALE del problema di Cauchy. Se invece verifichi che effettivamente H è = I allora la soluzione si dice GLOBALE ( ovvero in GRANDE). Quindi la soluzione in grande non è altro che la locale ma definita su tutto l'insieme! In molti casi si trova la soluzione LOCALE e si vede se è prolungabile a tutto l'intervallo ad esempio costruendo una funzione soluzione y* che si attacca ad y in un certo x° e continua a sinistra o a destra senza però avere mai punti in comune con y (cadrebbe l'unicità).

Spero di esserti stao utile ciao!