Monotonia della funzione

[steppox]

Buonasera a tutti! Come al solito non riesco a stare meno di 24 ore senza chiedere il vostro aiuto
sto studiando la funzione:
$\log _(2/3)(x^2+x+5)$
per la monotonia, pongo la derivata prima maggiore di 0, quindi:
$1/(x^2+x+5)\cdot(2x+1)\cdotlog _(2/3)e>0$
quindi:
$x^2+x+5>0$ è sempre verificata
$2x+1>0$ è verificata per $x> -(1/2)$
ma con $log _(2/3)e$ come devo comportarmi?
Grazie come sempre

[quantunquemente]

il logaritmo è negativo quindi la derivata prima è positiva se $2x+1<0$

[steppox]

"quantunquemente":il logaritmo è negativo quindi la derivata prima è positiva se $2x+1<0$

Grazie della risposta!
Dicendo che il logaritmo è negativo intendi dire che ha la base minore di 1? Cortesemente potresti essere più specifico?
E per quanto riguarda $log _(2/3)e$?
Grazie in anticipo

[quantunquemente]

no,intendo che $log_(2/3)e<0$

[steppox]

"quantunquemente":no,intendo che $log_(2/3)e<0$

Ragionandoci non posso che darti ragione!!! Infatti $log _(2/3)e$ significa che $(2/3)^x=e$ e poichè $2/3<1$ per poter ottenere $e$ elevando $2/3$ bisogna elevarlo necessariamente ad una potenza negativa (poichè elevandolo ad un numero positivo $2/3$ non farebbe altro che decrescere). Dunque $log_(2/3)e$ non può che essere $<0$
Dunque facendo un falso sistema si può facilmente verificare che la funzione è crescente fino a $-1/2$ e decrescente successivamente. Spero di non aver scritto cavolate