Monotonia
Salve a tutti... Qualcuno mi dice come dimostrare questo fatto??
f strettamente decrescente $=>$ f iniettiva
ipotesi= f strettamente decrescente
tesi= f iniettiva
se f è strettamente crescente allora
$x1 f(x1)>f(x2)$
per essere iniettiva
$x1$diverso$x2$ => $f(x1)$diverso$f(x2)$
non saprei come continuare.. grazie!!
f strettamente decrescente $=>$ f iniettiva
ipotesi= f strettamente decrescente
tesi= f iniettiva
se f è strettamente crescente allora
$x1
per essere iniettiva
$x1$diverso$x2$ => $f(x1)$diverso$f(x2)$
non saprei come continuare.. grazie!!
Risposte
Intuitivamente è un'ovvietà... Ragionandoci io ci arriverei per assurdo:
IP:
$f : \Omega -> RR$
$\frac{ df }{ dx } > 0 forall x in \Omega $
TS:
$forall x_1, x_2 in \Omega, x_1 != x_2 "vale" f(x_1) != f(x_2)$
DIM PER ASSURDO:
Ammettiamo che esistano due valori di $x$ per cui la funzione assuma gli stessi valori:
$exists x_1, x_2 in \Omega, x_1 != x_2 "t.c." f(x_1) = f(x_2)$
Questo si può anche scrivere come: $f(x_1) - f(x_2) = 0$.
La condizione alla derivata si scrive come:
$forall x_0 in bar(\Omega) lim_{x->x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} != 0 ( > 0 )$ ( Per $bar( \Omega )$ intendo l'interno di $\Omega$ )
Ovvero, per definizione:
$forall x_0 in bar(\Omega), \forall r in RR^+ exists \epsilon>0 "t.c." forall x in B_r(x_0) |f(x)-(x_0)| > 0$
Ora, se prendi $x_0 = x_1$, ed $r > |x_1 - x_2|$ ( in modo che $x_2 in B_r(x_1)$ ), ottieni che dev'essere necessariamente:
$|f(x_1) - f(x_2)| > 0$ il che contrasta con l'ipotesi. Si ha l'assurdo.
Ora.. è la mia prima dimostrazione improvvisata.. Non è proprio immediata, e probabilmente avrò fatto qualche pasticcio, aiutami a controllare!
IP:
$f : \Omega -> RR$
$\frac{ df }{ dx } > 0 forall x in \Omega $
TS:
$forall x_1, x_2 in \Omega, x_1 != x_2 "vale" f(x_1) != f(x_2)$
DIM PER ASSURDO:
Ammettiamo che esistano due valori di $x$ per cui la funzione assuma gli stessi valori:
$exists x_1, x_2 in \Omega, x_1 != x_2 "t.c." f(x_1) = f(x_2)$
Questo si può anche scrivere come: $f(x_1) - f(x_2) = 0$.
La condizione alla derivata si scrive come:
$forall x_0 in bar(\Omega) lim_{x->x_0} \frac{ f(x) - f(x_0)}{x - x_0} != 0 ( > 0 )$ ( Per $bar( \Omega )$ intendo l'interno di $\Omega$ )
Ovvero, per definizione:
$forall x_0 in bar(\Omega), \forall r in RR^+ exists \epsilon>0 "t.c." forall x in B_r(x_0) |f(x)-(x_0)| > 0$
Ora, se prendi $x_0 = x_1$, ed $r > |x_1 - x_2|$ ( in modo che $x_2 in B_r(x_1)$ ), ottieni che dev'essere necessariamente:
$|f(x_1) - f(x_2)| > 0$ il che contrasta con l'ipotesi. Si ha l'assurdo.
Ora.. è la mia prima dimostrazione improvvisata.. Non è proprio immediata, e probabilmente avrò fatto qualche pasticcio, aiutami a controllare!
@pater:
effettivamente hai fatto qualche pasticcio.
Il fatto che una funzione sia strettamente monotona decrescente non significa che è derivabile in ogni punto e che la derivata è strettamente negativa.
(Una funzione strettamente monotona decrescente è, in generale, derivabile quasi ovunque, e la derivata dove esiste è $\le 0$.)
@sarabi:
se $x_1\ne x_2$, hai solo due possibilità:
1) $x_1 < x_2$, nel qual caso $f(x_1) > f(x_2)$;
2) $x_1 > x_2$, nel qual caso $f(x_1) < f(x_2)$.
In entrambi i casi hai che $f(x_1) \ne f(x_2)$, che è quanto volevi dimostrare.
effettivamente hai fatto qualche pasticcio.
Il fatto che una funzione sia strettamente monotona decrescente non significa che è derivabile in ogni punto e che la derivata è strettamente negativa.
(Una funzione strettamente monotona decrescente è, in generale, derivabile quasi ovunque, e la derivata dove esiste è $\le 0$.)
@sarabi:
se $x_1\ne x_2$, hai solo due possibilità:
1) $x_1 < x_2$, nel qual caso $f(x_1) > f(x_2)$;
2) $x_1 > x_2$, nel qual caso $f(x_1) < f(x_2)$.
In entrambi i casi hai che $f(x_1) \ne f(x_2)$, che è quanto volevi dimostrare.
Giusto. Manca la condizione di continuità.
Se fosse stata continua, tuttavia? in questo caso la derivata doveva essere strettamente negativa, no?
Dunque non poteva sussistere la dimostrazione di cui sopra?
PS: inutile dire che la mia, oltre a richiedere ipotesi più forti, è molto più complessa e meno ovvia della tua dimostrazione... potrebbe tuttavia funzionare?
Se fosse stata continua, tuttavia? in questo caso la derivata doveva essere strettamente negativa, no?
Dunque non poteva sussistere la dimostrazione di cui sopra?
PS: inutile dire che la mia, oltre a richiedere ipotesi più forti, è molto più complessa e meno ovvia della tua dimostrazione... potrebbe tuttavia funzionare?
"pater46":
Giusto. Manca la condizione di continuità.
Se fosse stata continua, tuttavia? in questo caso la derivata doveva essere strettamente negativa, no?
No.
1) Monotonia e continuità non implicano derivabilità ovunque: esistono funzioni monotone, continue, derivabili solo quasi ovunque (e non ovunque), e con derivata nulla nei punti di derivabilità (una di queste è la famosa scala di Cantor, o scala del diavolo).
2) Anche supponendo la funzione derivabile ovunque, il fatto che sia strettamente monotona decrescente non implica che la derivata sia strettamente negativa in tutti i punti (es: $f(x) = -x^3$).
Dunque non poteva sussistere la dimostrazione di cui sopra?
PS: inutile dire che la mia, oltre a richiedere ipotesi più forti, è molto più complessa e meno ovvia della tua dimostrazione... potrebbe tuttavia funzionare?
La tua dimostrazione può funzionare se supponi che la funzione sia definita in un intervallo, derivabile e con derivata strettamente negativa (o strettamente positiva).
per fatto che $x1 < x2 $ x1 è per forza diverso da x2 e stessa cosa $f(x1)>f(x2)$ sono diversi siccome c'è il minore e il maggiore.. quindi $x1$ diverso da $x2$ => $f(x2)$ diverso da $ f(x2)$ quindi è iniettiva?
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