Monotonia

[cntrone]

nello studio della monotonia di una funzione, come faccio a studiarla quando ho funzioni prodotto, funzioni quoziente e funzioni somma (in cui non siano entrambe crescenti o decrescenti)..
io ho studiato le regole per le composte, ma negli altri casi???

[Lord K]

Per piacere posta un esempio nel quale hai dubbi, poi tenta di farci capire cosa ti sfugge... saremo felici di aiutarti!

[cntrone]

"Lord K":Per piacere posta un esempio nel quale hai dubbi, poi tenta di farci capire cosa ti sfugge... saremo felici di aiutarti!

ad esempio in una funzione del tipo

$f(x)=log[2]((log[2]x -1)/(log[1/2]x -1))$

come faccio a dire se questa funzione è crescente, decrescente, ecc..? grazie per l'aiuto

[Lord K]

Anzitutto scrivo tutto in termini di $ln(*)$

$f(x)=ln[ (log_2(x) - 1)/(log_(1/2)(x) - 1)]/(ln2) = ln[ (ln(x)/(ln2) - 1)/(-ln(x)/(ln2) - 1)]/(ln2) = 1/(ln2)*{ln[ln(x/2)]-lnln2 - ln[-ln(2x)]+lnln2} = 1/(ln2)*{ln[ln(x/2)]-ln[-ln(2x)]}$

Bene! Da qui poi calcolo la derivata prima:

$f'(x)= 1/(ln2)*{1/[ln(x/2)]*(1/x)+1/[ln(2x)]*(1/x)}=1/(xln2)*{1/[ln(x/2)]+1/[ln(2x)]}$

Che si annulla solo se:

$ln(x/2)+ln(2x)=0$
$ln(x^2)=0$
$x^2=1$

ovvero $x=1$ per questioni di dominio.

Se $x>1$ allora:

$ln(x/2)+ln(2x)>0$

ma:

$ln(x/2)ln(2x)<0$

Dunque:

$f'(x)=1/(xln2)*{1/[ln(x/2)]+1/[ln(2x)]}<0$

E nel caso di $x<1$ è crescente.

A parte alcuni errori di calcolo dovrei esserci!

[cntrone]

scusami tanto..non ti ho detto che le derivate nn le abbiamo studiate..esiste che tu sappia un altro modo???