Momento inerzia solido
Ciao, amici!
Posto qui perché si tratta di un problema proveniente da un testo di analisi, anche se non so se sarebbe più corretto postare in fisica... Mi scuso con i moderatori se ho sbagliato sezione...
Dovrei calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse delle $y$ di un solido (non sono sicuro di come si chiami: settore cilindrico?) generato dalla rotazione di 45° antioriari intorno all'asse delle $z$ di un rettangolo posto sul piano $y=0$ di lati di misura 2 e 3 adagiato con il lato di misura 3 sul piano $z=0$ (cioè un quarto del cilindro con centri delle basi in $(x,y,z)=(0,0,0)$ e $(x,y,z)=(0,0,2)$, altezza di misura 2 e raggio 3), di densità costante $\delta$; i due raggi che racchiudono i settori circolari che ha come basi il solido sono naturalmente sui piani $y=0$ e $x=0$.
Io, usando le coordinate cilindriche, calcolerei, con pochi calcoli
$\delta int_{0}^{\pi/2}int_{0}^{3}int_{0}^{2} (r^2 cos^2 \theta+z^2)r "d"z "d"r "d"\theta=(129\pi)/8\delta$
mentre il mio testo dà come soluzione $\delta int_{0}^{\pi/2}int_{0}^{3}int_{0}^{2} r^3 "d"z "d"r "d"\theta$, che userei invece per calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse delle $z$... Sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!
Posto qui perché si tratta di un problema proveniente da un testo di analisi, anche se non so se sarebbe più corretto postare in fisica... Mi scuso con i moderatori se ho sbagliato sezione...
Dovrei calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse delle $y$ di un solido (non sono sicuro di come si chiami: settore cilindrico?) generato dalla rotazione di 45° antioriari intorno all'asse delle $z$ di un rettangolo posto sul piano $y=0$ di lati di misura 2 e 3 adagiato con il lato di misura 3 sul piano $z=0$ (cioè un quarto del cilindro con centri delle basi in $(x,y,z)=(0,0,0)$ e $(x,y,z)=(0,0,2)$, altezza di misura 2 e raggio 3), di densità costante $\delta$; i due raggi che racchiudono i settori circolari che ha come basi il solido sono naturalmente sui piani $y=0$ e $x=0$.
Io, usando le coordinate cilindriche, calcolerei, con pochi calcoli
$\delta int_{0}^{\pi/2}int_{0}^{3}int_{0}^{2} (r^2 cos^2 \theta+z^2)r "d"z "d"r "d"\theta=(129\pi)/8\delta$
mentre il mio testo dà come soluzione $\delta int_{0}^{\pi/2}int_{0}^{3}int_{0}^{2} r^3 "d"z "d"r "d"\theta$, che userei invece per calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse delle $z$... Sbaglio?
Grazie di cuore a tutti!
Risposte
Questo perché hai integrato il quadrato della distanza dall' origine, invece dovresti integrare la distanza dall' asse di rotazione.
Grazie, Luca!!! Il quadrato della distanza dall'asse di rotazione, cioè quello delle $y$, di un punto di $RR^3$, non è -in coordinate rispettivamente cartesiane e cilindriche- $x^2+z^2=r^2 cos^2 \theta+z^2$?
Grazie di cuore di nuovo!!!
Grazie di cuore di nuovo!!!
Aspetta un attimo. Ho riletto meglio il testo. Sei sicuro che sia corretto? Perché dice che viene fatto ruotare di 45° e poi specifica che le basi rettangolari giacciono nei piani $x=0$ e $y=0$? >.< Ad ogni modo, sì la distanza dall'asse $y$ è quella che hai scritto tu. Penso che ci sia qualcosa di sbagliato nel testo...
Grazie, Luca!!!
Il rettangolo si può immaginare posto sul piano $y=0$ con vertici in $(0,0,0)$, $(0,0,2)$, $(3,0,2)$ e $(3,0,0)$. Ruota di 45° attorno all'asse delle $z$ generando il solido e quindi al termine della rotazione ha i vertici in $(0,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,3,2)$ e $(0,0,3)$, sul piano $x=0$. In pratica è la "fetta" contenuta nell'ottante dove tutte le coordinate sono positive del cilindro di altezza 2 adagiato sul piano $z=0$.
Non metterei la mano sul fuoco che il testo sia privo di refusi, ma normalmente tendo a supporre di essere in errore io se non capisco qualcosa, anche se quando trovo qualche errore di stampa in qualche testo mi ci picchio per giorni fino a credere di essere un deficiente...
Ciao e grazie ancora!!!
Il rettangolo si può immaginare posto sul piano $y=0$ con vertici in $(0,0,0)$, $(0,0,2)$, $(3,0,2)$ e $(3,0,0)$. Ruota di 45° attorno all'asse delle $z$ generando il solido e quindi al termine della rotazione ha i vertici in $(0,0,0)$, $(0,3,0)$, $(0,3,2)$ e $(0,0,3)$, sul piano $x=0$. In pratica è la "fetta" contenuta nell'ottante dove tutte le coordinate sono positive del cilindro di altezza 2 adagiato sul piano $z=0$.
Non metterei la mano sul fuoco che il testo sia privo di refusi, ma normalmente tendo a supporre di essere in errore io se non capisco qualcosa, anche se quando trovo qualche errore di stampa in qualche testo mi ci picchio per giorni fino a credere di essere un deficiente...
Ciao e grazie ancora!!!
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