Momento d'inerzia "geometrico"

Controllore1
Salve ragazzi, ho provato a risolvere questo esercizio: Calcolare il momento d'inerzia "geometrico" rispetto all'origine della superficie: ( $ sum -= {(x,y,z) in RR ^3:x^2+y^2=1, 0 leq z leq 1} $ (con superficie omogenea e densità di massa=1).
La mia soluzione è questa:
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) rho (z^2 +sin^2theta +cos^2theta)d rho d theta=...=pi/3 $. Secondo voi può andare?

Risposte
Plepp
Ciao. A me risulta essere $1$...non ho usato l'integrale perchè c'è già una formula generale per i "gusci cilindrici"...e poi non capisco da dove viene questo integrale:
"Controllore":

$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.

Controllore1
Ciao Plepp! Quella formula me l'ha data la professoressa per il calcolo dei momenti d'inerzia... Non ho usato il teorema di Huygens-Steiner perché sto facendo Analisi II e quindi poco c'entrava, altrimenti sarebbe stato più facile ancora... Non mi viene in mente altra soluzione oltre a quella che ho postato...

Plepp
Forse non ho capito allora cosa stiamo facendo :-D Stiamo calcolando il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un'asse, no?

Controllore1
:) Sì, però volevo gli integrali multipli!

Plepp
Ah ho capito! :-D penso che ci voglia un integrale di superficie, ma non so aiutarti in questo caso perchè non ho mai avuto l'occasione di studiarli..

Controllore1
:) Grazie lo stesso!

Quinzio
"Controllore":
Salve ragazzi, ho provato a risolvere questo esercizio: Calcolare il momento d'inerzia "geometrico" rispetto all'origine della superficie: ( $ sum -= {(x,y,z) in RR ^3:x^2+y^2=1, 0 leq z leq 1} $ (con superficie omogenea e densità di massa=1).
La mia soluzione è questa:
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) rho (z^2 +sin^2theta +cos^2theta)d rho d theta=...=pi/3 $. Secondo voi può andare?


Hai una superficie non un volume, quindi

$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) \rho(z^2 +sin^2theta +cos^2theta) \ d \theta\ d \z = int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) \rho(z^2 +1) \ d \theta\ d \z$

Controllore1
Ho capito... Quindi ho sbagliato... Grazie Quinzio! :)

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.