Momento d'inerzia "geometrico"
Salve ragazzi, ho provato a risolvere questo esercizio: Calcolare il momento d'inerzia "geometrico" rispetto all'origine della superficie: ( $ sum -= {(x,y,z) in RR ^3:x^2+y^2=1, 0 leq z leq 1} $ (con superficie omogenea e densità di massa=1).
La mia soluzione è questa:
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) rho (z^2 +sin^2theta +cos^2theta)d rho d theta=...=pi/3 $. Secondo voi può andare?
La mia soluzione è questa:
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) rho (z^2 +sin^2theta +cos^2theta)d rho d theta=...=pi/3 $. Secondo voi può andare?
Risposte
Ciao. A me risulta essere $1$...non ho usato l'integrale perchè c'è già una formula generale per i "gusci cilindrici"...e poi non capisco da dove viene questo integrale:
"Controllore":
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
Ciao Plepp! Quella formula me l'ha data la professoressa per il calcolo dei momenti d'inerzia... Non ho usato il teorema di Huygens-Steiner perché sto facendo Analisi II e quindi poco c'entrava, altrimenti sarebbe stato più facile ancora... Non mi viene in mente altra soluzione oltre a quella che ho postato...
Forse non ho capito allora cosa stiamo facendo 
Stiamo calcolando il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un'asse, no?
Stiamo calcolando il momento d'inerzia di un corpo rispetto ad un'asse, no?
Sì, però volevo gli integrali multipli!
Ah ho capito! penso che ci voglia un integrale di superficie, ma non so aiutarti in questo caso perchè non ho mai avuto l'occasione di studiarli..
penso che ci voglia un integrale di superficie, ma non so aiutarti in questo caso perchè non ho mai avuto l'occasione di studiarli..
Grazie lo stesso!
"Controllore":
Salve ragazzi, ho provato a risolvere questo esercizio: Calcolare il momento d'inerzia "geometrico" rispetto all'origine della superficie: ( $ sum -= {(x,y,z) in RR ^3:x^2+y^2=1, 0 leq z leq 1} $ (con superficie omogenea e densità di massa=1).
La mia soluzione è questa:
$ int_(0)^(1) int int_(D)^() x^2+y^2+z^2 dx dy dz $ con $ x=costheta, y=sintheta $.
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) int_(0)^(1) rho (z^2 +sin^2theta +cos^2theta)d rho d theta=...=pi/3 $. Secondo voi può andare?
Hai una superficie non un volume, quindi
$ int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) \rho(z^2 +sin^2theta +cos^2theta) \ d \theta\ d \z = int_(0)^(1)int_(0)^(2pi) \rho(z^2 +1) \ d \theta\ d \z$
Ho capito... Quindi ho sbagliato... Grazie Quinzio!
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