Momento di inerzia
come dice il titolo dovrei calcolarmi il momento di inerzia di un elica di equazione parametrica rispetto all asse z
$gamma:{(x(t)=cos(t)),(y(t)=sen(t)),(z(t)=2t):}$ $t in [0,2pi]$
considerando la densità omogenea quindi costante e precisamente $rho=1$
$ I=int_(gamma )^() delta ^2rho ds =rho int_(a)^(b) delta ^2(r(t))|r'(t)| dt $
l unico problema e che non capisco come calcolarmi la distanza ($delta$)da un punto ad all asse z. il punto deve essere generico ?? oppure un punto che appartiene all equazione del piano $z=2t $??
$gamma:{(x(t)=cos(t)),(y(t)=sen(t)),(z(t)=2t):}$ $t in [0,2pi]$
considerando la densità omogenea quindi costante e precisamente $rho=1$
$ I=int_(gamma )^() delta ^2rho ds =rho int_(a)^(b) delta ^2(r(t))|r'(t)| dt $
l unico problema e che non capisco come calcolarmi la distanza ($delta$)da un punto ad all asse z. il punto deve essere generico ?? oppure un punto che appartiene all equazione del piano $z=2t $??
Risposte
Osserva che l'asse $z$ è l'insieme dei punti di coordinate $(0,0,z)$. Per cui, preso un generico punto $(x,y,z)$ la sua distanza dall'asse $z$ è pari alla distanza tra tale punto e la sua proiezione ortogonale sull'asse stesso, che ha coordinate $(0,0,z)$. Pertanto la distanza cercata è
$$d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$
$$d=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-z)^2}=\sqrt{x^2+y^2}$$
quindi sapendo che $rho=1$ e sapendo che $delta^2=sen(t)^2+cos(t)^2=1$ e sapendo che $|r(t)'|=sqrt(5)$ alla fine
$I=sqrt(5)int_(0)^(2pi) dt=2pisqrt(5)$
giusto ???
$I=sqrt(5)int_(0)^(2pi) dt=2pisqrt(5)$
giusto ???
E mi pare proprio di sì.
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