Moltiplicazione per pettine di dirac
Buonasera.
Il campionamento di una funzione $f(t)$ si ottiene moltiplicando la stessa per il pettine di dirac (sommatoria di infiniti impulsi distanti $Tc$ = passo di campionamento); in questo modo si ottiene una funzione $g(t)$ a tempo discreto definita solo per $t=kT_c,k in ZZ $ che assume in quegli istanti gli stessi valori che assumeva $f(t)$.
Non era sufficiente moltiplicare per una funzione che valesse $1$ dove il pettine "vale infinito" e zero altrove ?
Il campionamento di una funzione $f(t)$ si ottiene moltiplicando la stessa per il pettine di dirac (sommatoria di infiniti impulsi distanti $Tc$ = passo di campionamento); in questo modo si ottiene una funzione $g(t)$ a tempo discreto definita solo per $t=kT_c,k in ZZ $ che assume in quegli istanti gli stessi valori che assumeva $f(t)$.
Non era sufficiente moltiplicare per una funzione che valesse $1$ dove il pettine "vale infinito" e zero altrove ?
Risposte
Infatti hai ragione tu. Se vuoi moltiplicare, allora devi moltiplicare per una funzione che vale \(1\) per \(t=kT_c\) e zero altrove. Il pettine di Dirac invece è fatto per essere integrato contro una funzione. Ovvero, con le tue notazioni:
\[g=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)\sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta(\tau-kT_c)\, d\tau.\]
Osserva che se moltiplichi per una funzione che vale \(1\) in un insieme discreto e zero altrove, e poi integri, ti viene zero tutto.
\[g=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)\sum_{k \in \mathbb{Z}} \delta(\tau-kT_c)\, d\tau.\]
Osserva che se moltiplichi per una funzione che vale \(1\) in un insieme discreto e zero altrove, e poi integri, ti viene zero tutto.
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