Moltiplicazione numero complesso.
Ciao ragazzi, vorrei chiedere un aiuto su un primo esercizio che svolgo sui numeri complessi:
$(1+i)*w$ con w complesso coniugato di z con $z=r(cos theta + i sin theta)$
L'esempio è facile portandosi a $(1+i)=sqrt2(cos (pi/4) + i sin (pi/4))$
e scrivendo il complesso coniugato di z: $w=r(cos theta - i sin theta)$ che ho pensato di riscrivere come $w=r(cos theta + i sin -theta)$
ora il mio dubbio, siccome ho bisogno di uno stesso theta ho usato la parità di cos e $w=r(cos -theta + i sin -theta)$
adesso: $(1+i)*w=sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos -theta + i sin -theta)=sqrt2*r(cos (pi/4-theta) + i sin (pi/4 - theta))$
mentre la soluzione riporta come risultato: $sqrt2*r(cos (pi/4+theta) + i sin (pi/4 - theta))$ cioè non ha riscrivvo w sfruttando la paritò come faccio io, tuttavia a me sembra errato moltiplicare $sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos +theta + i sin -theta)$ perché non è di fatto un complesso che sfrutta l'identità di eulero.
Qualcuno gentilmente saprebbe districare il mio dubbio e spiegarmi perché i due metodi sono uguali o se il mio sia sbaglaito? grazie.
$(1+i)*w$ con w complesso coniugato di z con $z=r(cos theta + i sin theta)$
L'esempio è facile portandosi a $(1+i)=sqrt2(cos (pi/4) + i sin (pi/4))$
e scrivendo il complesso coniugato di z: $w=r(cos theta - i sin theta)$ che ho pensato di riscrivere come $w=r(cos theta + i sin -theta)$
ora il mio dubbio, siccome ho bisogno di uno stesso theta ho usato la parità di cos e $w=r(cos -theta + i sin -theta)$
adesso: $(1+i)*w=sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos -theta + i sin -theta)=sqrt2*r(cos (pi/4-theta) + i sin (pi/4 - theta))$
mentre la soluzione riporta come risultato: $sqrt2*r(cos (pi/4+theta) + i sin (pi/4 - theta))$ cioè non ha riscrivvo w sfruttando la paritò come faccio io, tuttavia a me sembra errato moltiplicare $sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos +theta + i sin -theta)$ perché non è di fatto un complesso che sfrutta l'identità di eulero.
Qualcuno gentilmente saprebbe districare il mio dubbio e spiegarmi perché i due metodi sono uguali o se il mio sia sbaglaito? grazie.
Risposte
Probabilmente c'è un errore di battitura nel testo.
Il ragionamento è corretto, ma se lavori in forma trigonometrica è inutile che ti porti dietro tutti quei coseni e seni; conviene fare i conti direttamente calcolando modulo ed argomento del prodotto.
Il ragionamento è corretto, ma se lavori in forma trigonometrica è inutile che ti porti dietro tutti quei coseni e seni; conviene fare i conti direttamente calcolando modulo ed argomento del prodotto.
"gugo82":
Probabilmente c'è un errore di battitura nel testo.
Il ragionamento è corretto
Solo per capire se ho ben capito: quindi il mio è corretto che non è per nulla uguale a quello trovato nel libro: $√2⋅r(cos(π/4+θ)+isin(π/4−θ))$ che invece è scorretto. Giusto?
Anche perché $√2⋅r(cos(π/4+θ)+isin(π/4−θ))=√2⋅r(cos(-π/4-θ)+isin(π/4−θ))$ mi pare
"gugo82":
conviene fare i conti direttamente calcolando modulo ed argomento del prodotto.
Cioè? Non ho ben capito come perdonami. Intendi forse in forma esponenziale così non ho il coseno?
Grazie per il tuo gentile e celerissimo aiuto
Intendo che nel coseno del risultato del testo, cioè in $ sqrt(2) r (cos(pi/4 + theta)+i sin(pi/4 − theta)) $, c'è un errore di battitura (in particolare, un $+$ al posto del $-$)...
Per il resto, intendo che nel calcolo del prodotto $z = z_1*z_2$ puoi direttamente sfruttare le formule:
$|z| = |z_1| * |z_2|$ e $"arg"(z) = "Arg"(z_1) + "Arg"(z_2)$
(con ovvio significato dei simboli) senza portarti appresso immondizia notazionale inutile (seni, coseni, unità immaginarie, etc...).
Per il resto, intendo che nel calcolo del prodotto $z = z_1*z_2$ puoi direttamente sfruttare le formule:
$|z| = |z_1| * |z_2|$ e $"arg"(z) = "Arg"(z_1) + "Arg"(z_2)$
(con ovvio significato dei simboli) senza portarti appresso immondizia notazionale inutile (seni, coseni, unità immaginarie, etc...).
Sì certo in quanto quel meno sopraggiunge per via della parità del coseno, ho capito.
Diciamo che mi ero posto il dubbio se vi fosse una identità tra
$ sqrt(2) r (cos(pi/4 + theta)+i sin(pi/4 − theta)) $ e $ sqrt(2) r (cos(pi/4 - theta)+i sin(pi/4 − theta)) $ (cioè tra il suo risultato e il mio) perché non la vedevo e mi sembrava strano il libro sbagliasse dato che diceva proprio nel procedimento "moltiplico" $sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos +theta + i sin -theta)$ quindi più che un errore di segno mi pareva proprio un grossolano errore di procedimento. Davvero strano, chissà come è capitato
Diciamo che mi ero posto il dubbio se vi fosse una identità tra
$ sqrt(2) r (cos(pi/4 + theta)+i sin(pi/4 − theta)) $ e $ sqrt(2) r (cos(pi/4 - theta)+i sin(pi/4 − theta)) $ (cioè tra il suo risultato e il mio) perché non la vedevo e mi sembrava strano il libro sbagliasse dato che diceva proprio nel procedimento "moltiplico" $sqrt2*r(cos (pi/4) + i sin (pi/4))(cos +theta + i sin -theta)$ quindi più che un errore di segno mi pareva proprio un grossolano errore di procedimento. Davvero strano, chissà come è capitato
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