Moltiplicazione fra logaritmi

[angelo.digiacomantonio]

Ciao a tutti,
sto ancora esercitandomi con le disequazioni logaritmiche e mi è comparsa una disequazione in una forma nuova che, sinceramente, non so proprio come risolvere:

NB i logatitmi sono in base 3
$loglog(4x+6)<0$

mmm...presumo sia una moltiplicazione fra logaritmi, vero? quindi, dopo aver stabilito le condizioni di esistenza per cui $4x+6>0$, dovrei applicare $log(a)*log(b) = log(a+b)$ e quindi $log(4x+7)$?

Presumo che l'argomento del logaritmo che moltiplica sia 1...sbaglio?

Procedendo così il risultato non coincide con quello datomi...dovrebbe venire $(-5/4)
Potreste darmi qualche dritta per affrontare questo esercizio?
Grazie a tutti quelli che mi daranno una mano!

[_prime_number]

Nessuna moltiplicazione, è solo una funzione composta! Logaritmo di logaritmo di...
Scrivilo $log(log(4x +6))$ se ti fa stare meglio.
In ogni caso, niente paura: risolvi il logaritmo più esterno per primo. Se vuoi puoi chiamare (temporaneamente!) l'argomento $t$ in questo modo : $log(4x+6)=t$ e partire dunque risolvendo
$log t <0$
dopo di che rimetti al posto di $t$ la cosa di prima e vai avanti...

Paola

[Quinzio]

Non è cosi'.
è una funzione composta:
$log (log (f(x)))<0$
cioè
$log y <0$

dove $y = log (f(x))$

Quindi abbiamo che $y<1$ e $y>0$ per la condizione di esistenza del log.

Quindi.....

[angelo.digiacomantonio]

Ok, chiarito che era una funzione composta ho risolto dapprima il logaritmo più interno, che mi viene $-3/2

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[_prime_number]

La tua scrittura non ha senso! Cosa significa fare il logaritmo di una disuguaglianza.
Andiamo per gradi. Prima di tutto, risolvi qual è il dominio (l'argomento di ogni logaritmo deve essere positivo!). Dopo di che risolvi $log(t)>0$ come ti ho scritto nel post precedente.
Se riporti i tuoi conti posso correggerti.

Paola

[angelo.digiacomantonio]

allora, ecco come procedo:

Condizioni di esistenza: $4x+6>0 => x>(-3/2)$
poi:
$log(4x+6)=t -> logt<0$
siccome la base del logaritmo è 3 e, per definizione, il logaritmo è l'esponente che bisogna dare alla base per ottenere l'argomento:
$t<1 -> log(4x+6)<1$
applico di nuovo la definizione:
$4x+6<3 => x<-3/4$

Bene, fin qui mi sembra di aver fatto bene e di aver trovato una delle due soluzioni...ora dovrei intersecarla alle condizioni di esistenza per cui $x>(-3/2)$?

[_prime_number]

Ok tutto bene tranne una condizione di esistenza che manca:
$log(4x+6)>0$ (è anche lui argomento di un logaritmo). Risolvi anche questa e poi interseca le 3 condizioni ricavate per aver la soluzione finale.

Paola

[angelo.digiacomantonio]

Giusto! Grazie mille paola ho risolto brillantemente l'esercizio ed ho capito il meccanismo delle funzioni composte!
Complimenti a tutto il forum, è una grandissima risorsa per chi, come me, incontrando difficoltà nell'applicazione della materia, vuole, oltre a risolvere l'esercizio, capire anche come si fa! Spero, nel limite delle mie possibilità, di poter ricambiare anch'io il favore a qualcun altro!