Moltiplicatori lagrange
Sono alle prese con il seguente esercizio:
Determinare l'immagine della funzione $f:V->RR$ con $V={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2<=5}, f(x,y)=7x^2+2xy+y^2
L'insieme $V$ è un ellisse, quindi è compatto per cui per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo.Poichè $V=$int$V$U$delV$ cioè $V=$insieme dei punti interni di $V$ e insieme dei punti frontiera di $V$, ogni estremante locale per $f$ appartiene a int$V$ o a $delV$. Se un estremante locale appartiene a int$V={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2<5}$, allora per il teorema di fermat esso è un punto critico. Se invece un estremante locale appartiene a $delV={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2=5}$ allora esso è anche estremante locale per $f$ ristretta a $delV$, perciò possiamo utilizzare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Prima di tutto determino il gradiente di $f$
$ nablaf(x,y)=(14x+2y,2x+2y)$
La prima componente si annulla per $x=-1/7y$ e la seconda componente per $y=-x$.
DOMANDA:Quindi i punti critici per $f$ sono $(-1/7y,-x)$??
Cerco gli estremanti locali per $f$ ristretta a $delV$.
$delV$ è l'insieme dei punti del piano in cui si annulla la funzione $g:RR^2->RR$ tale che $g(x,y)=4x^2+y^2-5$, che è di classe $C^1$, inoltre
$ nablag(x,y)=(8x,2y)$ che si annulla solo in $(0,0)$ che non appartiene a $delV$, perciò per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, se $(x,y)$ è un estremante locale per $f$ ristretta a $delV$ allora $EEλinRR$ tale che $nablaf=lambda*nablag$
Per cui risolvo il sistema:
$\{(14x + 2y = 8xlambda),(2x+2y = 2ylambda),(4x^2 + y^2 = 5):}$ -> $\{(7x-4lambdax+y=0),(x+y-lambday=0),(4x^2 + y^2 = 5):}$
Trovo $lambda=2$ e $lambda=3/4$
Sostituendo i valori ottenuti per $lambda$ e svolgendo i calcoli ottengo che gli unici punti che possono essere estremanti locali sono :
$(1,1) (-1,-1) (1/2,-2) (-1/2,2)$ dove $f(1,1)=f(-1,-1)=10$ e $f(1/2,-2)=f(-1/2,2)=15/4$ ma nella soluzione $f(V)=[0,10]$ Dove sbaglio???
Determinare l'immagine della funzione $f:V->RR$ con $V={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2<=5}, f(x,y)=7x^2+2xy+y^2
L'insieme $V$ è un ellisse, quindi è compatto per cui per il teorema di Weierstrass ha massimo e minimo.Poichè $V=$int$V$U$delV$ cioè $V=$insieme dei punti interni di $V$ e insieme dei punti frontiera di $V$, ogni estremante locale per $f$ appartiene a int$V$ o a $delV$. Se un estremante locale appartiene a int$V={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2<5}$, allora per il teorema di fermat esso è un punto critico. Se invece un estremante locale appartiene a $delV={(x,y)inRR^2|4x^2+y^2=5}$ allora esso è anche estremante locale per $f$ ristretta a $delV$, perciò possiamo utilizzare il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Prima di tutto determino il gradiente di $f$
$ nablaf(x,y)=(14x+2y,2x+2y)$
La prima componente si annulla per $x=-1/7y$ e la seconda componente per $y=-x$.
DOMANDA:Quindi i punti critici per $f$ sono $(-1/7y,-x)$??
Cerco gli estremanti locali per $f$ ristretta a $delV$.
$delV$ è l'insieme dei punti del piano in cui si annulla la funzione $g:RR^2->RR$ tale che $g(x,y)=4x^2+y^2-5$, che è di classe $C^1$, inoltre
$ nablag(x,y)=(8x,2y)$ che si annulla solo in $(0,0)$ che non appartiene a $delV$, perciò per il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, se $(x,y)$ è un estremante locale per $f$ ristretta a $delV$ allora $EEλinRR$ tale che $nablaf=lambda*nablag$
Per cui risolvo il sistema:
$\{(14x + 2y = 8xlambda),(2x+2y = 2ylambda),(4x^2 + y^2 = 5):}$ -> $\{(7x-4lambdax+y=0),(x+y-lambday=0),(4x^2 + y^2 = 5):}$
Trovo $lambda=2$ e $lambda=3/4$
Sostituendo i valori ottenuti per $lambda$ e svolgendo i calcoli ottengo che gli unici punti che possono essere estremanti locali sono :
$(1,1) (-1,-1) (1/2,-2) (-1/2,2)$ dove $f(1,1)=f(-1,-1)=10$ e $f(1/2,-2)=f(-1/2,2)=15/4$ ma nella soluzione $f(V)=[0,10]$ Dove sbaglio???
Risposte
sono riuscito a risolverla grazie lo stesso !!!
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