Moltiplicatori di Lagrange

[demisecocci]

Ciao a tutti!!! sono nuovo , nel secondo esercizio di questo tema http://www.math.unipd.it/~ancona/pdf/test/A2_11_10a.pdf io avevo provato a risolverlo con i moltiplicatori di lagrange, di conseguenza ho impostato un sistema di 4 equazioni, 4 incognite e ho visto che, per questo caso, veniva assai complicato. Successivamente ho provato con il metodo della sostituzione ovvero riscivere la nuova funzione in funzione di una sola variabile ed ho avuto risultati diversi P1(1,0) e P2(rad(2)/2, 0) . La mia domanda quindi era:" E' possibile usare sempre il metodo dei moltiplicatori oppure si può usare solo in determinate circonstanze? lo stesso vale per il metodo della sostituzione.
Un ultima cosa, ho provato a leggere attentamente la teoria a riguardo ma non son mai riuscito a capire il perchè del segno di lambda, mi spiego, la forma generale si presenta in questo modo , ℒ(x,y,λ) = ƒ(x,y) + λ·φ(x,y), negli esercizi proposti qui http://calvino.polito.it/~nicola/analis ... soluti.pdf trovo sempre f(x,y) - λ·φ(x,y) . Mi potreste gentilmente spiegare il perchè? GRAZIE MILLE!!!!

[Sk_Anonymous]

Quando un punto appartenente alla frontiera di un dominio bidimensionale è un estremante, senza considerare il caso in cui il punto sia l'intersezione di due curve di frontiera, la curva di livello passante per quel punto è tangente alla frontiera in quel punto. Siccome le direzioni normali alla curva di livello e alla frontiera in quel punto devono coincidere, il $\nablaf(x,y)$ deve essere proporzionale al $\nablag(x,y)$. Quindi $\nablaf(x,y)=\lambda\nablag(x,y)$ con $lambda$ assolutamente arbitrario. Potresti anche porre $\nablaf(x,y)=-\lambda\nablag(x,y)$, $\nablaf(x,y)=\lambda/2\nablag(x,y)$, $\nablaf(x,y)=-\lambda/5\nablag(x,y)$...non cambierebbe nulla, se non la soluzione del sistema relativa al moltiplicatore di Lagrange medesimo.

[demisecocci]

ah ok ti ringrazio, però in quel caso dell'esercizio avevo un insieme formato da 2 frontiere, quindi due g(x,y) per intenderci.. quindi l'impostazione dei gradienti come viene?

[Sk_Anonymous]

Le tratti separatamente. Nei loro punti d'intersezione, se devi determinare il codominio, puoi tranquillamente fare un calcolo diretto.

[demisecocci]

Se non ti è troppo di disturbo potrei chiederti si impostarmi le equazioni dei gradienti del secondo esercizio http://www.math.unipd.it/~ancona/pdf/test/A2_3_11a.pdf così..solo per avere una conferma se ho capito giusto grazie mille!!!

[Sk_Anonymous]

$\{(0=\lambda*1+\mu*2x),(0=\lambda*1+\mu*2y),(2ze^(z^2)=\lambda*1+\mu*2z),(x+y+z=0),(x^2+y^2+z^2=8):}$

[demisecocci]

ok perfetto, unica cosa che non mi torna è la terza equazione, non dovrebbe essere a destra il 2ze^z^2 però col + ?
perchè io avevo impostato l'equazione L(x,y,z,h,j) = f(x,y,z) + h (x+y+z) + j(x^2 + y^2 + z^2 - 8) e da qui ho fatto tutte le derivate secondo le varie variabili.. e quindi la terza mi viene come la tua solo che il membro di sinistra è a destra con segno positivo.

[Sk_Anonymous]

Se $\{(\lambdato-\lambda),(\muto-\mu):}$ allora:

$\{(0=-\lambda*1-\mu*2x),(0=-\lambda*1-\mu*2y),(2ze^(z^2)=-\lambda*1-\mu*2z),(x+y+z=0),(x^2+y^2+z^2=8):} rarr \{(0=\lambda*1+\mu*2x),(0=\lambda*1+\mu*2y),(-2ze^(z^2)=\lambda*1+\mu*2z),(x+y+z=0),(x^2+y^2+z^2=8):}$

In altri termini, il tuo sistema prevede moltiplicatori di Lagrange opposti. Come precedentemente detto, non è importante.

[demisecocci]

OK!!! molto gentile ti ringrazio!!!