Moltiplicatori di lagrange

[el_pampa1]

Sia da minimizzare una funzione $f(x,y)$ sotto un vincolo $h(x,y)=0$. Mi sembra chiaro ora che $\nabla h * T=0$ dove $T$ è il vettore tangente alla curva stessa. Ma non capisco perchè deve essere per forza che, nel punto che sto cercando, il $\nabla f * T = 0$. Qualcuno avrebbe la cortesia di farmi un bel ragionamento e farmelo capire?? Da questo direi poi che $\nabla h$ e $\nabla f$ sono parellili e quindi esistono dei $\lambda$, appunto i moltiplicator,i tali che $\nabla f + \lambda \nabla h=0$. Giusto?

Grazie

[Fioravante Patrone1]

Non ti propongo un ragionamento, ma di farti un calcolo molto semplice, magari corredato da un disegnino.

Prendi $h(x,y)=x$. Solo per avere una delle funzioni più semplici possibili, ma non sceme (costanti...).
Prendi $f(x,y) = ax + by$. Guarda un po' quando può avere massimo con il vincolo $h(x,y)=0$.
E vedi cosa fanno i gradienti.

Il teorema non fa altro che mettere "in bella copia" questo esercizietto, attraverso l'approssimazione lineare di funzione e vincolo.

[el_pampa1]

Tuttavia non riesco ancora a capire.. perchè il $\nabla f$ nel punto di minimo deve essere tangente?

[Fioravante Patrone1]

Non lo capisco nenach'io, visto che è perpendicolare

Comunque, se non è perpendicolare, vuol dire che c'è spazio per incrementi e decrementi della funzione attorno al punto, come si vede considerando l'approssimazione lineare (vedi mio post precedente).

[el_pampa1]

Si si ovvio intendevo ortogonale.. Ho guardato su delle dispense di analisi e praticamente il mio dubbio è risolto proprio dal teorema dei moltiplicatori di lagrange. Cmq nnon mi sembreva una cosa così ovvia visto che viene usata nella dimostrazione del teorema anche il th del dini.
Cmq grazie per l'aiuto