Moltiplicatori di Lagrange
Ho una domanda da porre su un problema di ottimizzazione vincolata.
Determinare
$min f(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2$ sul vincolo $F(x,y,z) = x + y + z - 2 = 0$
Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange arrivo a individuare l'unico punto critico $P_0 = (6/7, 6/7, 2/7)$.
A questo punto come faccio a dimostrare che $P_0$ è effettivamente di punto di minimo per $f$ su $F$ ?
Seguendo le indicazioni fornitemi al corso posso percorrere varie strade:
1. Valutazioni geometriche.
Non saprei cosa dire al di là del fatto che il vincolo è un piano
2. Weierstrass.
Non posso applicarlo a questo caso perché il vincolo non è chiuso e limitato
3. Teorema del minimo locale/globale
Se ho ben capito il teorema fornisce una condizione sufficiente per l'esistenza del minimo assoluto.
Vedo subito che la sua matrice hessiana è diagonale, per cui leggo gli autovalori direttamente sulla diagonale principale
$D^2f = [[2, 0, 0], [0,2,0],[0,0,6]]$
Da ciò deduco che la matrice è definita positiva, per cui f è strettamente convessa (Criterio di convessità per le funzioni di classe C2)
Posso quindi concludere che $P_0$ è un punto di minimo assoluto per f su F.
Potreste darmi una conferma / smentita di quanto scritto ?
Determinare
$min f(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2$ sul vincolo $F(x,y,z) = x + y + z - 2 = 0$
Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange arrivo a individuare l'unico punto critico $P_0 = (6/7, 6/7, 2/7)$.
A questo punto come faccio a dimostrare che $P_0$ è effettivamente di punto di minimo per $f$ su $F$ ?
Seguendo le indicazioni fornitemi al corso posso percorrere varie strade:
1. Valutazioni geometriche.
Non saprei cosa dire al di là del fatto che il vincolo è un piano
2. Weierstrass.
Non posso applicarlo a questo caso perché il vincolo non è chiuso e limitato
3. Teorema del minimo locale/globale
Se ho ben capito il teorema fornisce una condizione sufficiente per l'esistenza del minimo assoluto.
Vedo subito che la sua matrice hessiana è diagonale, per cui leggo gli autovalori direttamente sulla diagonale principale
$D^2f = [[2, 0, 0], [0,2,0],[0,0,6]]$
Da ciò deduco che la matrice è definita positiva, per cui f è strettamente convessa (Criterio di convessità per le funzioni di classe C2)
Posso quindi concludere che $P_0$ è un punto di minimo assoluto per f su F.
Potreste darmi una conferma / smentita di quanto scritto ?
Risposte
"Mezcalito":
Ho una domanda da porre su un problema di ottimizzazione vincolata.
Determinare
$min f(x,y,z) = x^2 + y^2 + 3z^2$ sul vincolo $F(x,y,z) = x + y + z - 2 = 0$
Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange arrivo a individuare l'unico punto critico $P_0 = (6/7, 6/7, 2/7)$.
A questo punto come faccio a dimostrare che $P_0$ è effettivamente di punto di minimo per $f$ su $F$ ?
Seguendo le indicazioni fornitemi al corso posso percorrere varie strade:
1. Valutazioni geometriche.
Non saprei cosa dire al di là del fatto che il vincolo è un piano
2. Weierstrass.
Non posso applicarlo a questo caso perché il vincolo non è chiuso e limitato
3. Teorema del minimo locale/globale
Se ho ben capito il teorema fornisce una condizione sufficiente per l'esistenza del minimo assoluto.
Vedo subito che la sua matrice hessiana è diagonale, per cui leggo gli autovalori direttamente sulla diagonale principale
$D^2f = [[2, 0, 0], [0,2,0],[0,0,6]]$
Da ciò deduco che la matrice è definita positiva, per cui f è strettamente convessa (Criterio di convessità per le funzioni di classe C2)
Posso quindi concludere che $P_0$ è un punto di minimo assoluto per f su F.
Potreste darmi una conferma / smentita di quanto scritto ?
1. ok
2. ok
3. ok, certo. Se hai una funzione convessa (non serve neanche che sia strettamente convessa) ed essa ha un punto critico (lo hai trovato con Lagrange) su un insieme convesso (e il piano lo è), allora esso è certamente punto di minimo globale.
Grazie mille ! 
Questo esercizio mi ha fornito degli spunti di riflessione...
1) Cosa posso dire sul max f su F ?
Non avendo trovato altri punti critici col metodo dei moltiplicatori posso concludere che non esiste, e che quindi la f non è limitata superiormente su F ?
2) Nel caso in cui nemmeno il teorema di minimo (o massimo) locale/globale mi desse indicazioni, cosa posso dire sul punto critico trovato ?
E' un minimo (o massimo) locale, è un punto di sella .... o semplicemente non posso pronunciarmi ?
3) Ha senso studiare la convessità di H ?
Questo esercizio mi ha fornito degli spunti di riflessione...
1) Cosa posso dire sul max f su F ?
Non avendo trovato altri punti critici col metodo dei moltiplicatori posso concludere che non esiste, e che quindi la f non è limitata superiormente su F ?
2) Nel caso in cui nemmeno il teorema di minimo (o massimo) locale/globale mi desse indicazioni, cosa posso dire sul punto critico trovato ?
E' un minimo (o massimo) locale, è un punto di sella .... o semplicemente non posso pronunciarmi ?
3) Ha senso studiare la convessità di H ?
"Mezcalito":
1) Cosa posso dire sul max f su F ?
Non avendo trovato altri punti critici col metodo dei moltiplicatori posso concludere che non esiste, e che quindi la f non è limitata superiormente su F ?
2) Nel caso in cui nemmeno il teorema di minimo (o massimo) locale/globale mi desse indicazioni, cosa posso dire sul punto critico trovato ?
E' un minimo (o massimo) locale, è un punto di sella .... o semplicemente non posso pronunciarmi ?
3) Ha senso studiare la convessità di H ?
1. Beh, essendo regolare il tutto, se ci fosse un p.to di max (financo locale), dovrebbe soddisfare le CN di Lagange. Ergo...
2. Beh, se mia nonna avesse le ruote... Ci sono delle CS di second'ordine (locali!!!) per problemi di estremo vincolato. Se ti interessano quelli globali, t'arrangi.
3. H? E chi è H?
"Fioravante Patrone":
3. H? E chi è H?
Ehm... frettoloso che non sono altro
Con H volevo indicare la funzione ausiliaria di cui si studiano i punti critici col metodo di Lagrange (Hamiltoniana ? Lagrangiana ? Non so come sia giusto definirla ...)
$H(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) + \lambda F(x,y,z)$
Faccio questa domanda perché l'unico abbozzo di esercizio di questo tipo affrontato al corso studiava la convessità di H invece che quella di f: l'operazione mi sembra inutilmente più complicata, per cui mi chiedevo se studiando l'hessiano di H si potessero trarre informazioni maggiori sulla natura degli estremi vincolati.
Sì, ci sono CN e CS (locali) che coinvolgono la lagrangiana (le due derivate seconde) e sono come quelle dell'hessiano per problemi liberi. Ma bisogna fare attenzione a dove si prendono le "variazioni ammissibili" (o chissà come sono chiamate).
Puoi vedere il libro di Bertsekas:
Bertsekas, Dimitri P.: Nonlinear programming, Athena scientific, Belmont, 1999.
Puoi vedere il libro di Bertsekas:
Bertsekas, Dimitri P.: Nonlinear programming, Athena scientific, Belmont, 1999.
Ciao a tutti per caso c'è qualcuno che potrebbe spiegarmi bene il metodo dei moltiplicatori di lagrange riguardo l'ottimizzazione vincolata, effetto reddito ed effetto sostituzione? Non ho capito lo svolgimento dell'esercizio. Ad esempio ho un consumatore con le seguenti caratteristiche :
U = (x1^2)(x2) P1 = 4 P2 = 10 m=600. Calcolare a seguito di una riduzione di P2 da 10 a 8 l'effetto reddito e l'effetto sostituzione.
*in x1^2 1 lo considero indice e 2 il quadrato
*P =prezzo
*m = reddito.
POtreste spiegarmi come si fa ? ogni passaggio ? grazie mille.. Il prof purtroppo in aula ti snobba e lo spiega male
U = (x1^2)(x2) P1 = 4 P2 = 10 m=600. Calcolare a seguito di una riduzione di P2 da 10 a 8 l'effetto reddito e l'effetto sostituzione.
*in x1^2 1 lo considero indice e 2 il quadrato
*P =prezzo
*m = reddito.
POtreste spiegarmi come si fa ? ogni passaggio ? grazie mille.. Il prof purtroppo in aula ti snobba e lo spiega male
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo