Moltiplicatori di Lagrange

[attila3]

chi può aiutarmi?
Utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, trovare gli eventuali estremanti della funzione f (x, y) = xy rispetto al vincolo x^2 + y^2 = 8

grazie



Modificato da - attila il 14/05/2004 15:53:52

[Berationalgetreal]

Sono consapevole che rispondere ad una domanda di 12 anni fa non sarà di alcuna utilità per chi la pose, ma potrebbe esserlo per qualcuno nel 2016. Se non altro può essere un buon esercizio su massimi e minimi vincolati
Metto la risoluzione in spoiler.

Scriviamo la lagrangiana della funzione $ f(x,y) = xy$ rispetto al vincolo $ x^2 + y^2 = 8$:

\[ \ell (x,y,\lambda) = xy - \lambda (x^2 + y^2 - 8) \]

Come sappiamo, i punti stazionari di $f$ vanno cercati tra quelli di [tex]\ell[/tex], quindi scriviamo le derivate parziali di quest'ultima e poniamole uguali a $0$:

\[
\begin{cases}

\frac{ \partial \ell}{\partial x} = y - 2\lambda x = 0 \\

\frac{\partial \ell}{\partial y} = x - 2\lambda y = 0 \\

\frac{\partial \ell}{\partial \lambda} = - (x^2 + y^2 - 8) = 0 \end{cases} \]

Dalle prime due equazioni, otteniamo che $ y = 2\lambda x = 2\lambda (2\lambda y) = 4 \lambda^2 y $. Se $ y= 0$, abbiamo, dalla seconda equazione, che $x=0$; tuttavia, sostituendo questi valori nella terza equazione, otteniamo che il sistema non è compatibile. Quindi $y = 0$ non è una soluzione del sistema. Se $ y \ne 0$, possiamo dividere, e otteniamo $1 = 4 \lambda^2 \implies \lambda = \pm \frac{1}{2} $. Sostituendo nella prima equazione:

\[
\begin{cases}

y = x , \ per \ \lambda = \frac{1}{2} \\

oppure \\

y = - x, \ per \ \lambda = - \frac{1}{2} \end{cases} \]

Sostituendo nella terza equazione:
\[ x^2 + (\pm x)^2 = 8 \implies x = \pm 2 \]

Quindi, i punti stazionari sono:

\[
\begin {cases}

x = 2, \ \lambda = \frac{1}{2} \implies y = 2 \\

x = 2, \ \lambda = - \frac{1}{2} \implies y = -2 \\

x= - 2, \ \lambda = \frac{1}{2} \implies y = -2 \\

x = -2, \ \lambda = -\frac{1}{2} \implies y = 2 \end{cases} \]

Di conseguenza, i punti di cui dobbiamo studiare la natura in $f$ sono

\[ P_1 = (2, 2), \ P_2 = (2, -2), \ P_3 = (-2, -2), \ P_4 = (-2, 2) \]

Calcolandone i valori,

\[ f(P_1) = 4, \ f(P_2) = -4, \ f(P_3) = 4, \ f(P_4) = -4 \]

stabiliamo che, per $f(x,y) = xy$ con resistrizione $x^2 + y^2 = 8$, $ P_1 $ e $P_3$ sono punti di massimo assoluto, mentre invece $P_2$ e $P_4$ sono punti di minimo assoluto.