Moltiplicatori di Lagrange
data la funzione $f(x,y)=xe^(y^2-x)$ definita su $D={x^2+y^2<=4}$utilizzando il metodo delle Lagrangiana ottengo questi punti estremanti $p_1=(0,+-2)$, $p_2=(-1,+-sqrt(3))$ e $p_3=(1/2,+-sqrt(15)/2)$ da cui sfruttando il teorema di Weierstrass e calcolando il valore di $f(p_2)$ e $f(p_3)$ ottengo che $p_2$ è un minimo assoluto mentre $p_3$ è un massimo assoluto.
Ora però non ho capito come definire il punto $p_1$ dato che so solo che $f(p_1)=0$. senza conoscere il grafico come faccio a stabilire se è un minimo locale o un massimo locale o ancora un punto di sella?
Grazie
Ora però non ho capito come definire il punto $p_1$ dato che so solo che $f(p_1)=0$. senza conoscere il grafico come faccio a stabilire se è un minimo locale o un massimo locale o ancora un punto di sella?
Grazie
Risposte
"Aletzunny":
Ora però non ho capito ...
Siamo alle solite. Insomma, dovresti facilmente renderti conto che, per esempio, in un qualsiasi intorno del punto $(0,2)$ contenuto nel dominio la funzione assume valori di segno opposto.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
Ora però non ho capito ...
Siamo alle solite. Insomma, dovresti facilmente renderti conto che, per esempio, in un qualsiasi intorno del punto $(0,2)$ contenuto nel dominio la funzione assume valori di segno opposto.[/quote]
Ho pensato anche io quello...eppure plottando il grafico sembra che nel dominio $D$ dato $(0,2)$ sia un minimo locale
Avevi pensato bene. Ad ogni modo, se la consegna richiedesse solo l'immagine della funzione, la classificazione non sarebbe nemmeno necessaria.
"anonymous_0b37e9":
Avevi pensato bene. Ad ogni modo, se la consegna richiedesse solo l'immagine della funzione, la classificazione non sarebbe nemmeno necessaria.
La consegna chiede di studiare di che tipo sono i punti estremamenti di $f$...
Quindi in pratica non ho il grafico su cui basarmi per identificare $(0,2)$ e $(0,-2)$
Anche quelli relativi?
"anonymous_0b37e9":
Anche quelli relativi?
Si dalle "soluzioni" di altri 2 esercizi simili vengono analizzati anche quelli
Allora la classificazione è necessaria. A questo punto, se hai fatto bene i conti, non ti resta che concludere.
"anonymous_0b37e9":
Allora la classificazione è necessaria. A questo punto, se hai fatto bene i conti, non ti resta che concludere.
Quindi oltre ai massimi assoluti e ai minimi assoluti sugli assi questi due punti li studio con il segno di $f$... è l'unica vero?
Oppure mi sto solo complicando la vita?
Aspetta. Intanto che ci siamo, ti invito a includere in questa discussione l'ultimo esercizio di quella sottostante (bloccata):
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207255
Siccome avevo fatto una rappresentazione grafica comprendendo le curve di livello, sarebbe un peccato buttarla nel cestino. Magari si prendono due piccioni con una fava.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207255
Siccome avevo fatto una rappresentazione grafica comprendendo le curve di livello, sarebbe un peccato buttarla nel cestino. Magari si prendono due piccioni con una fava.
In che senso scusami? Mi sono perso la connessione tra i due post.
Nel senso che, se vuoi comprendere a fondo l'analisi sulla frontiera, il metodo delle curve di livello, se facilmente tracciabili, è il più intuitivo. Voglio dire, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sugli stessi concetti. Tuttavia, se non si svolge almeno un esercizio con le curve di livello, è praticamente impossibile comprenderne la logica sottostante.
"anonymous_0b37e9":
Nel senso che, se vuoi comprendere a fondo l'analisi sulla frontiera, il metodo delle curve di livello, se facilmente tracciabili, è il più intuitivo. Voglio dire, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sugli stessi concetti. Tuttavia, se non si svolge almeno un esercizio con le curve di livello, è praticamente impossibile comprenderne la logica sottostante.
A ok... nel senso con le curve di livello ho provato a fare qualche esercizio... tuttavia questo mi sembrava abbastanza fattibile con i conti e dunque ho usato Lagrange per il fatto che ho la "certezza" che salvo errori di calcolo i punti estremamenti li trovo tutti...
Non avevo pensato però alla questione di minimi e massimi locali...
Potrei quindi rifare anche questo con le curve di livello?
"Aletzunny":
Potrei quindi rifare anche questo con le curve di livello?
No, perché non sono facilmente tracciabili. Ad ogni modo, se hai già capito il metodo delle curve di livello, tanto meglio.
"anonymous_0b37e9":
[quote="Aletzunny"]
Potrei quindi rifare anche questo con le curve di livello?
No, perché non sono facilmente tracciabili. Ad ogni modo, se hai già capito il metodo delle curve di livello, tanto meglio.[/quote]
Sulle curve di livello ho visto degli esercizi svolti su dei testi di studio come mi era stato consigliato... però in effetti qui non sono facili da tracciare.
Rimane il segno di $f$ dunque
Quelli non sono né minimi né massimi. Tra l'altro, non ho capito come hai classificato i minimi e i massimi sulla frontiera. Insomma, quale metodo utilizzi?
"anonymous_0b37e9":
Quelli non sono né minimi né massimi. Tra l'altro, non ho capito come hai classificato i minimi e i massimi sulla frontiera. Insomma, quale metodo utilizzi?
Ho usato Lagrange per $p_2$ e $p_3$. Per $p_1$ sto cercando di studiare il segno di $f$ sulla frontiera
In che senso Lagrange? Non ho capito se ti sei limitato alla condizione necessaria o se hai preso in considerazione anche la condizione sufficiente.
Solo necessaria
A questo punto, tu capisci che, se il minimo e il massimo assoluti vengono assunti all'interno del dominio, non hai un metodo per classificare un minimo o un massimo relativo sulla frontiera. Proprio per questo motivo è importante la consegna. Ad ogni modo, se il programma non contempla la condizione sufficiente, devo presumere che, in sede di esame, un esercizio in cui sei costretto ad applicare Lagrange sarà architettato in modo tale da poter essere svolto esaustivamente anche solo con la condizione necessaria.
"anonymous_0b37e9":
A questo punto, tu capisci che, se il minimo e il massimo assoluti vengono assunti all'interno del dominio, non hai un metodo per classificare un minimo o un massimo relativo sulla frontiera. Proprio per questo motivo è importante la consegna. Ad ogni modo, se il programma non contempla la condizione sufficiente, devo presumere che, in sede di esame, un esercizio in cui sei costretto ad applicare Lagrange sarà architettato in modo tale da poter essere svolto esaustivamente anche solo con la condizione necessaria.
Capito! Spero vada davvero cosi! La condizione sufficiente non l'abbiamo vista a lezione purtroppo
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