Molteplicita nelle Equazioni Differenziali
Ciao ragazzi!! 
volevo chiedervi un grosso aiuto, sto studiando le equazioni differenziali ma ho una grossa lacuna riguardo la molteplicità!!! 
potreste spiegarmi cos'è e farmi qualche esempio? es.: quando è 0, quando è 1, quando è 2...? grazie in anticipo!!
volevo chiedervi un grosso aiuto, sto studiando le equazioni differenziali ma ho una grossa lacuna riguardo la molteplicità!!! potreste spiegarmi cos'è e farmi qualche esempio? es.: quando è 0, quando è 1, quando è 2...? grazie in anticipo!!
Risposte
Ciao, benvenut*!!
Dovresti spiegarti meglio: che intendi per molteplicità nelle equazioni differenziali?
Dovresti spiegarti meglio: che intendi per molteplicità nelle equazioni differenziali?
mi riferisco alla molteplicità delle soluzioni dell'equazione caratteristica...
Supponiamo che il polinomio caratteristico sia: $p(t)=t^n+a_(n-1)t^(n-1)+...+a_1t+a_0$.
Esso avrà le sue radici $lambda_1, ..., lambda_r$ (eventualmente complesse).
Allora si può riscrivere $p(t)=(t-lambda_1)^(m_1)*...*(t-lambda_r)^(m_r)$.
La molteplicità delle radici è l'esponente con cui compaiono in questa scomposizione.
Esempio 1: consideriamo l'equazione $y''(x)-3y'(x)+2y(x)=0$.
Essa avrà polinomio caratteristico $p(t)=t^2-3t+2$, le cui radici sono $lambda_1=1, lambda_2=2$.
Ce lo riscriviamo quindi così: $p(t)=(t-1)(t-2)$, e quindi le due radici hanno molteplicità 1.
Esempio 2: $y''(x)-2y'(x)+y(x)=0$- Polinomio caratteristico $p(t)=t^2-2t+1$, che si riscrive così: $p(t)=(t-1)^2$: quindi ha una sola radice, $1$, che compare con esponente 2, che è quindi la sua molteplicità.
Spero di esserti stato d'aiuto; in caso contrario, chiedi
Esso avrà le sue radici $lambda_1, ..., lambda_r$ (eventualmente complesse).
Allora si può riscrivere $p(t)=(t-lambda_1)^(m_1)*...*(t-lambda_r)^(m_r)$.
La molteplicità delle radici è l'esponente con cui compaiono in questa scomposizione.
Esempio 1: consideriamo l'equazione $y''(x)-3y'(x)+2y(x)=0$.
Essa avrà polinomio caratteristico $p(t)=t^2-3t+2$, le cui radici sono $lambda_1=1, lambda_2=2$.
Ce lo riscriviamo quindi così: $p(t)=(t-1)(t-2)$, e quindi le due radici hanno molteplicità 1.
Esempio 2: $y''(x)-2y'(x)+y(x)=0$- Polinomio caratteristico $p(t)=t^2-2t+1$, che si riscrive così: $p(t)=(t-1)^2$: quindi ha una sola radice, $1$, che compare con esponente 2, che è quindi la sua molteplicità.
Spero di esserti stato d'aiuto; in caso contrario, chiedi
ti ringrazio....sei stato gentilissimo!! solo una cosa, per sicurezza: potresti farmi gli stessi due esempi anche nel caso in cui le radici sono irrazionali?
Se le radici sono irrazionali non cambia nulla.
1) Equazione: $y''(x)-2y(x)=0$. Polinomio: $p(t)=t^2-2=(t-sqrt(2))*(t+sqrt(2))$, e quindi $sqrt(2)$ e $-sqrt(2)$ hanno molteplicità 1.
2) Equazione: $y''(x)+2sqrt(2)y'(x)+2y(x)=0$. Polinomio: $p(t)=t^2+2sqrt(2)t+2=(t+sqrt(2))^2$, e quindi $-sqrt(2)$ ha molteplicità 2.
PS: mi sono limitato a equazioni al secondo ordine per semplicità; il tutto vale per ogni ordine.
1) Equazione: $y''(x)-2y(x)=0$. Polinomio: $p(t)=t^2-2=(t-sqrt(2))*(t+sqrt(2))$, e quindi $sqrt(2)$ e $-sqrt(2)$ hanno molteplicità 1.
2) Equazione: $y''(x)+2sqrt(2)y'(x)+2y(x)=0$. Polinomio: $p(t)=t^2+2sqrt(2)t+2=(t+sqrt(2))^2$, e quindi $-sqrt(2)$ ha molteplicità 2.
PS: mi sono limitato a equazioni al secondo ordine per semplicità; il tutto vale per ogni ordine.
grazie mille!!! purtroppo riesco a fare le cose difficili ma mi perdo su queste cose sciocche XD
grazie mille emmeffe,finalmente ho capito la molteplicità!
ho però una domanda: in una equazione differenziale del secondo ordine come questa y′′(x)+2y′(x)+5y(x)=0 che molteplicità ha?
ho però una domanda: in una equazione differenziale del secondo ordine come questa y′′(x)+2y′(x)+5y(x)=0 che molteplicità ha?
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