Molteplicità di una radice di un polinomio
Ciao a tutti,
sono qui a scrivervi perché vorrei chiedervi se sussista qualche tipo di legame sulla molteplicità della radice di un polinomio e l'ordine dato dallo sviluppo di Taylor.
So che è una domanda stupida, tuttavia mi sono accorto che (es prendiamo una funzione polinomiale qualsiasi $x^5$) in generale sviluppando con taylor le prime derivate si annullano fino a un certo ordine e di solito coincide con la molteplicità della radice del polinomio.
Non capisco se sia un caso o se non lo fosse in che modo siano correlate le due coe.
sono qui a scrivervi perché vorrei chiedervi se sussista qualche tipo di legame sulla molteplicità della radice di un polinomio e l'ordine dato dallo sviluppo di Taylor.
So che è una domanda stupida, tuttavia mi sono accorto che (es prendiamo una funzione polinomiale qualsiasi $x^5$) in generale sviluppando con taylor le prime derivate si annullano fino a un certo ordine e di solito coincide con la molteplicità della radice del polinomio.
Non capisco se sia un caso o se non lo fosse in che modo siano correlate le due coe.
Risposte
Certo, sono la stessa cosa. Prendiamo un polinomio \(P\) che si annulla in \(x_0\) con ordine \(k\), ovvero, per definizione, tale che \(P(x)=(x-x_0)^kQ(x)\), dove \(Q\) è un polinomio che non si annulla in \(x_0\). Lo sviluppo di Taylor in \(x_0\) di \(Q\) sarà quindi
\[
Q(x)=\underbrace{Q(x_0)}_{\ne 0} + Q'(x_0)(x-x_0)+\ldots\]
e perciò lo sviluppo di \(P\) è
\[
P(x)=Q(x_0)(x-x_0)^k + Q'(x_0)(x-x_0)^{k+1}+\ldots
\]
e in particolare il primo termine non nullo è un monomio di grado \(k\).
\[
Q(x)=\underbrace{Q(x_0)}_{\ne 0} + Q'(x_0)(x-x_0)+\ldots\]
e perciò lo sviluppo di \(P\) è
\[
P(x)=Q(x_0)(x-x_0)^k + Q'(x_0)(x-x_0)^{k+1}+\ldots
\]
e in particolare il primo termine non nullo è un monomio di grado \(k\).
Ho afferrato, grazie 
Solo un OT piccolo riguardo l'esempio che mi ero fatto. Se volessi sviluppare con Taylor ad esempio $x^5$ mi accorgo che sviluppandolo come da definizione le derivate sopra un certo ordine sono tutte nulle se valutate nel punto x=0.
E' quindi corretto scrivere come sviluppo: $x^5=x^5+o(x^5)$ anche se gli ordini superiori sono tutti nulli, mi stranisce un po' la cosa.
Solo un OT piccolo riguardo l'esempio che mi ero fatto. Se volessi sviluppare con Taylor ad esempio $x^5$ mi accorgo che sviluppandolo come da definizione le derivate sopra un certo ordine sono tutte nulle se valutate nel punto x=0.
E' quindi corretto scrivere come sviluppo: $x^5=x^5+o(x^5)$ anche se gli ordini superiori sono tutti nulli, mi stranisce un po' la cosa.
Dai, questa è proprio una fesseria. Si che è corretto, perché banalmente 0 è un o piccolo di qualsiasi cosa, ma si tratta di una quisquilia. Non ti fissare su questi dettagli insostanziali.
Insomma ti stupisci che, la migliore approssimazione polinomiale intorno ad un punto di un polinomio, sia il polinomio stesso?
In realtà ero abbastanza certo fosse corretto ma... non so perché (o forse sì, dato che sono piuttosto negato e mi sembra sempre di non aver capito) non ho mai molta fiducia nei miei ragionamenti e cerco sempre conferme da chi sa.
Grazie per il vostro tempo
Grazie per il vostro tempo
"jimbolino":
In realtà ero abbastanza certo fosse corretto ma... non so perché (o forse sì, dato che sono piuttosto negato e mi sembra sempre di non aver capito) non ho mai molta fiducia nei miei ragionamenti e cerco sempre conferme da chi sa.
Eh si, è normale, succede anche a me ancora oggi, ma non va bene. Devi avere fiducia in te stesso, è MOLTO importante in matematica (e anche in tutte le altre discipline).
Per costruire questa fiducia c'è un solo modo: farsi le conferme da solo. Ad esempio, davanti ad un calcolo che ti sembra dubbioso, prova a calcolarlo in un altro modo e vedi se ottieni lo stesso risultato. Se ti viene fuori un numero negativo, chiediti se tale risultato sia ragionevole; ad esempio, se stai calcolando un'area un risultato negativo è sicuramente sbagliato. Eccetera eccetera.
Se ti abitui a farti queste conferme sistematicamente, acquisirai sicurezza, perché saprai che puoi contare su te stesso per verificare la bontà di un risultato. Col tempo, acquisirai un sesto senso che fa suonare automaticamente un allarme davanti ad un errore. E quando ti troverai a lavorare, questa sarà una abilità fondamentale.
---
Dai una occhiata a questi due libri:
https://www.elsevier.com/books/misteaks ... 2-174695-7 ("Misteaks: and how to find them before your teacher does", di Barry Cipra)
https://mitpress.mit.edu/books/street-f ... athematics ("Street-fighting mathematics" di Sanjoy Mahajan).
Si possono facilmente trovare in pdf in rete.
Wow grazie mille, li cerco!
Buona domenica, intanto
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