Molteplicità degli zeri di una funzione complessa

[Giulia9951]

Salve, ho delle difficoltà riguardo lo svolgimento di un esercizio che chiede di trovare gli zeri della funzione complessa f(z)=1+exp(z) e di determinare la loro molteplicità. Eseguendo i calcoli ho trovato che f(z)=0 per gli z' nella forma πi+2kπi. Per determinarne la molteplicità ho applicato il teorema della classificazione degli zeri da cui [img]http://www5a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP396623683i5hcbc756d8000031chh6a828bb85h0?MSPStoreType=image/gif&s=62&w=125.&h=18.[/img]
Dove f(a)=0, g(z) olomorfa nel suo dominio, g(a) diversa da 0 ed m intero positivo, detto, appunto, molteplicità dello zero in a. Il problema diventa, quindi, trovare per quale intero positivo m la funzione [img]http://www4b.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP24391dh6b9g0h79551if0000398eh2ade4i8ge43?MSPStoreType=image/gif&s=24&w=102.&h=40.[/img]
è definita in a=z' e diversa da zero per z=z'.
Per risolverlo ho provato a sostituire exp(z) con il suo sviluppo in serie di laurent ma non so se sia la strada giusta né come dovrei continuare dopo la sostituzione. Grazie mille in anticipo a chi sapesse darmi qualche dritta su come procedere.

[dissonance]

che casino

buh io semplicemente calcolerei la derivata e vedrei se si annulla pure lei negli zeri di $f$
se si, la molteplicità è almeno due. calcolerei quindi la derivata seconda, se si annulla pure lei la molteplicità è almeno tre
eccetera fino a quando non trovo una derivata che non si annulla

fine

[Giulia9951]

Grazie per il consiglio, non ci avevo pensato!
Ma se mi venisse richiesto di risolvere l'esercizio utilizzando il teorema che ho citato nel primo messaggio?
(L'esercizio proposto dal mio libro di testo è implicitamente formulato per essere risolto con quel teorema; per tutte le altre funzioni date dall'esercizio non avuto problemi ad applicarlo, tranne questa)