Modulo quadro Esponenziale complesso
Salve, ho un problema con il modulo quadro di un esponenziale complesso:
$sinc(f)*e^(-j2pif*3/2)-sinc(f)*e^(-j2pif*1/2)$
Essendo il modulo quadro di un numero complesso il prodotto tra se stesso ed il suo coniugato, ho provato vari modi di risoluzione ma senza arrivare alla cancellazione degli esponenziali complessi.
Qual'è il modo corretto di procedere?
Grazie mille.
$sinc(f)*e^(-j2pif*3/2)-sinc(f)*e^(-j2pif*1/2)$
Essendo il modulo quadro di un numero complesso il prodotto tra se stesso ed il suo coniugato, ho provato vari modi di risoluzione ma senza arrivare alla cancellazione degli esponenziali complessi.
Qual'è il modo corretto di procedere?
Grazie mille.
Risposte
Nessuno può darmi una mano?? Basta anche la forma corretta del coniugato dell'espressione che ho scritto, poi il conto me lo svolgo da me.
Grazie ancora
Grazie ancora
Così a occhio mi pare che quei due esponenziali si possano scrivere in modo un poco più furbo, prova a farci della 'cosmetica'
Si, ho provato a scriverli anche in forma di seno e coseno ma non riesco mai ad eliminare la parte complessa.
Dunque, a parte che non ho capito cosa è [tex]$sinc(f)$[/tex] (e spero sia una quantità fissata, per cui lo indico con [tex]$\alpha$[/tex] il numero complesso lo puoi scrivere così:
[tex]$z=\alpha\cdot e^{-3\pi j f}-\alpha\cdot e^{-\pi j f}=\alpha e^{-\pi j f}\left(e^{-2\pi j f}-1\right}$[/tex]
Pertanto, dal momento che [tex]$|e^{j\beta}|=1$[/tex] si ha
[tex]$|z|=|\alpha|\cdot|e^{-2\pi j f}-1}|=|\alpha|\cdot\sqrt{(e^{-2\pi j f}-1)(e^{2\pi j f}-1)}=
|\alpha|\sqrt{1-2(e^{2\pi j f}+e^{-2\pi j f})+1}=$[/tex]
[tex]$=|\alpha|\sqrt{2+2[\cos(2\pi f)+i\sin(2\pi f)+\cos(2\pi f)-i\sin(2\pi f)]}=\sqrt{2}|\alpha|\sqrt{1+\cos(2\pi f)}$[/tex]
[tex]$z=\alpha\cdot e^{-3\pi j f}-\alpha\cdot e^{-\pi j f}=\alpha e^{-\pi j f}\left(e^{-2\pi j f}-1\right}$[/tex]
Pertanto, dal momento che [tex]$|e^{j\beta}|=1$[/tex] si ha
[tex]$|z|=|\alpha|\cdot|e^{-2\pi j f}-1}|=|\alpha|\cdot\sqrt{(e^{-2\pi j f}-1)(e^{2\pi j f}-1)}=
|\alpha|\sqrt{1-2(e^{2\pi j f}+e^{-2\pi j f})+1}=$[/tex]
[tex]$=|\alpha|\sqrt{2+2[\cos(2\pi f)+i\sin(2\pi f)+\cos(2\pi f)-i\sin(2\pi f)]}=\sqrt{2}|\alpha|\sqrt{1+\cos(2\pi f)}$[/tex]
Grazie della risposta, però ho alcuni dubbi:
allora intanto la $sinc(f)$ è la funzione sinc che in qusto caso è reale per cui assimilabile come numero reale e quindi continuerò a chiamarla $\alpha$ .
Ora veniamo ai miei dubbi: nell'espressione $|z|=|\alpha|\cdot|e^(-2pijf)-1|$ come mai è sparito l'esponenziale $e^(-pijf)$ ? Non riesco proprio a capirlo.
Inoltre, sulla base che mi hai dato ho provato a fare il modulo quadro dell'espressione, riporto tutti i passaggi che ho fatto.
$|z|^2=\alpha^2\cdot(e^(-2pijf)-1)(e^(2pijf)-1)=\alpha^2\cdot(2-e^(-2pijf)-e^(2pijf))=\alpha^2\cdot(2-\cos(2pif)+j\sin(2pif)-\cos(2pif)-j\sin(2pif))=\alpha^2\cdot(2-2\cos(2pif))=2\alpha^2\cdot(1-\cos(2pif))
Confrontandola con il quadrato dell'espressione da te ricavata c'è di diverso il segno del coseno, cosa ho sbagliato?
Ancora grazie.
allora intanto la $sinc(f)$ è la funzione sinc che in qusto caso è reale per cui assimilabile come numero reale e quindi continuerò a chiamarla $\alpha$ .
Ora veniamo ai miei dubbi: nell'espressione $|z|=|\alpha|\cdot|e^(-2pijf)-1|$ come mai è sparito l'esponenziale $e^(-pijf)$ ? Non riesco proprio a capirlo.
Inoltre, sulla base che mi hai dato ho provato a fare il modulo quadro dell'espressione, riporto tutti i passaggi che ho fatto.
$|z|^2=\alpha^2\cdot(e^(-2pijf)-1)(e^(2pijf)-1)=\alpha^2\cdot(2-e^(-2pijf)-e^(2pijf))=\alpha^2\cdot(2-\cos(2pif)+j\sin(2pif)-\cos(2pif)-j\sin(2pif))=\alpha^2\cdot(2-2\cos(2pif))=2\alpha^2\cdot(1-\cos(2pif))
Confrontandola con il quadrato dell'espressione da te ricavata c'è di diverso il segno del coseno, cosa ho sbagliato?
Ancora grazie.
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