Modulo di un segnale
Sia $x(t)=sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^|n| e^(jn πt)$ dove $t in R$,calcolare $|x(t)|$ e $||x(t)||^2$ e dire se converge nel senso dell'energia.
Ho visto che $sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^(2|n|)$ converge,quindi la serie converge nel senso dell'energia al segnale $x(t)$,inoltre siccome la frequenza angolare è pari a $π$ il periodo $T=2$ e quindi:
$Tsum_(-oo)^(+oo)(1/2)^(2|n|)=||x(t)||^2=10/3$
Il problema è calcolare il modulo del segnale,qualcuno può darmi una mano?Mica quest'uguaglianza è giusta:$sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^|n|=|x(t)|$?
Grazie
Ho visto che $sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^(2|n|)$ converge,quindi la serie converge nel senso dell'energia al segnale $x(t)$,inoltre siccome la frequenza angolare è pari a $π$ il periodo $T=2$ e quindi:
$Tsum_(-oo)^(+oo)(1/2)^(2|n|)=||x(t)||^2=10/3$
Il problema è calcolare il modulo del segnale,qualcuno può darmi una mano?Mica quest'uguaglianza è giusta:$sum_(-oo)^(+oo)(1/2)^|n|=|x(t)|$?
Grazie
Risposte
no quella espressione non è corretta.
devi calcolare $|\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (1/2)^{|n|} e^{j n \pi t}|$
L'argomento del modulo lo puoi riscrivere come $\sum_{n=0} (1/2)^n e^{jn\pi t} + \sum_{n=1} (1/2)^n e^{-jn\pi t} $. Le puoi vedere come due serie geometriche le cui ragioni in modulo sono minori di 1, quindi convergenti, scrivendo quindi le somme delle due serie ottieni:
$1/(1 - (e^{j\pi t})/2) + 1/(1 - (e^{-j\pi t})/2) -1/2$
facendo un po' di conti risulta
$(11-4cos(\pi t))/(10-8cos(\pi t))$.
Di questa dovremmo considerare il modulo, ma basta notare che la funzione è sempre positiva $\forall t$, e quindi $|x(t)| = x(t) = (11-4cos(\pi t))/(10-8cos(\pi t))$.
Non sono sicurissimo di questo... ma io personalmente lo risolverei così.
devi calcolare $|\sum_{n=-\infty}^{+\infty} (1/2)^{|n|} e^{j n \pi t}|$
L'argomento del modulo lo puoi riscrivere come $\sum_{n=0} (1/2)^n e^{jn\pi t} + \sum_{n=1} (1/2)^n e^{-jn\pi t} $. Le puoi vedere come due serie geometriche le cui ragioni in modulo sono minori di 1, quindi convergenti, scrivendo quindi le somme delle due serie ottieni:
$1/(1 - (e^{j\pi t})/2) + 1/(1 - (e^{-j\pi t})/2) -1/2$
facendo un po' di conti risulta
$(11-4cos(\pi t))/(10-8cos(\pi t))$.
Di questa dovremmo considerare il modulo, ma basta notare che la funzione è sempre positiva $\forall t$, e quindi $|x(t)| = x(t) = (11-4cos(\pi t))/(10-8cos(\pi t))$.
Non sono sicurissimo di questo... ma io personalmente lo risolverei così.
Ho capito il procedimento,solo non mi trovo all'inizio:non dovresti sottrarre $1$ invece di $1/2$?
DOUCH!!! Errore di conto.... scusa... hai ragione
Grazie di tutto
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