Modulo di un numero complesso
Buongiorno ragazzi,
Ho qualche dubbio sul come è stato calcolato il modulo della seguente funzione di trasferimento:
$ H(j\omega) = frac{V_{out}}{V_{\text{in}}} = frac{1}{[1 - \omega^2 LC] + j\omega C R_L} = frac{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L}{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2} $
$ |H(j\omega)| = |frac{V_{out}}{V_{\text{in}}}| = frac{1}{sqrt{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2}} $
Sopratutto non capisco perchè al numeratore la funzione si semplifica e rimane soltanto 1...
Se qualcuno potesse aiutarmi ne sarei felice
Ho qualche dubbio sul come è stato calcolato il modulo della seguente funzione di trasferimento:
$ H(j\omega) = frac{V_{out}}{V_{\text{in}}} = frac{1}{[1 - \omega^2 LC] + j\omega C R_L} = frac{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L}{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2} $
$ |H(j\omega)| = |frac{V_{out}}{V_{\text{in}}}| = frac{1}{sqrt{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2}} $
Sopratutto non capisco perchè al numeratore la funzione si semplifica e rimane soltanto 1...
Se qualcuno potesse aiutarmi ne sarei felice
Risposte
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Beh, scusa, quanto vale il $|1/z|$? 
Ciao FemtoGinny,
Naturalmente ha ragione gugo82, ma ti riscrivo il quesito del tuo OP con l'auspicio che tu poi lo corregga eliminando l'immagine (che mi disturba un po'... ) sostituendola con ciò che ti scrivo (basta che punti la formula col mouse e col pulsante destro scegli > Show Math As > AsciiMath Input e poi copi e incolli ciò che ti viene fuori racchiudendolo tra due simboli di dollaro).
$H(j\omega) = frac{V_{out}}{V_{\text{in}}} = frac{1}{[1 - \omega^2 LC] + j\omega C R_L} = frac{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L}{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2} $
$|H(j\omega)| = |frac{V_{out}}{V_{\text{in}}}| = frac{1}{sqrt{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2}} $
Per trovare quest'ultima segui il suggerimento di gugo82 usando la prima espressione di $H(j\omega)$.
$argH(j\omega) = arg{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L} = - frac{\omega C R_L}{1 - \omega^2 LC} = tan \varphi$
Naturalmente ha ragione gugo82, ma ti riscrivo il quesito del tuo OP con l'auspicio che tu poi lo corregga eliminando l'immagine (che mi disturba un po'...
) sostituendola con ciò che ti scrivo (basta che punti la formula col mouse e col pulsante destro scegli > Show Math As > AsciiMath Input e poi copi e incolli ciò che ti viene fuori racchiudendolo tra due simboli di dollaro).$H(j\omega) = frac{V_{out}}{V_{\text{in}}} = frac{1}{[1 - \omega^2 LC] + j\omega C R_L} = frac{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L}{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2} $
$|H(j\omega)| = |frac{V_{out}}{V_{\text{in}}}| = frac{1}{sqrt{[1 - \omega^2 LC]^2 + \omega^2 C^2 R_L^2}} $
Per trovare quest'ultima segui il suggerimento di gugo82 usando la prima espressione di $H(j\omega)$.
$argH(j\omega) = arg{[1 - \omega^2 LC] - j\omega C R_L} = - frac{\omega C R_L}{1 - \omega^2 LC} = tan \varphi$
Ecco fatto, ho corretto ^^ Grazie mille, in effetti così è semplice. Quello che non capisco e che mi confonde è che necessità c'era di sviluppare ulteriormente la formula per portare la parte immaginaria al numeratore, quando per calcolare il modulo era più comodo tenersi la forma con l'1 al numeratore...
Bravo... Vedi che così è molto meglio? Venendo al tuo ultimo dubbio: direi che la prima formulazione è più comoda per calcolarsi il modulo di $H(j\omega)$, la seconda è più comoda per calcolarsi l'argomento di $H(j\omega)$. Della funzione di trasferimento $H(j\omega)$ interessano di solito modulo e argomento.
Perdonami ma, continua a non essere chiaro...perchè nel calcolo dell'argomento consideri soltanto il numeratore della funzione di trasferimento, e tralasci invece completamente il denominatore?
Se il denominatore è reale può essere pensato come una semplice costante reale che moltiplica il numero complesso e che, quindi, influisce sul modulo, ma non sull'argomento.
Ora è chiaro! Grazie mille a tutti e tre ^^
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