Modulo di funzioni complesse

[Webster]

Sto cercando di determinare il modulo della funzione complessa $f(z)=cos(z)$ nel punto $z0=pi/2+iln(2)$.Siccome $z$ può essere riscritta esplicitando parte reale e parte immaginaria,cioè come $x+iy$,ho ritenuto opportuno utilizzare la formula di addizione per il coseno,scrivendo così $f(z)=cos(x)cos(iy)-sin(x)sin(iy)$,ma non mi vengono in mente idee per separare nettamente parte reale e parte immaginaria e andare così a calcolare il modulo.Potete aiutarmi?

[ciampax]

Suggerimento: usa le formule di Eulero:

[tex]$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$[/tex]

[gugo82]

Per quanto riguarda le funzioni circolari complesse, è utile ricordare che esse hanno stretti legami con le funzioni iperboliche: tali legami sono espressi dalle uguaglianze:

[tex]$\cos \imath z =\cosh z$[/tex] e [tex]$\sin \imath z =\imath\ \sinh z$[/tex].

In tal modo si vede che:

[tex]$\cos z= \cos (x+\imath y) =\cos x\ \cos \imath y -\sin x\ \sin \imath y= \cos x\ \cosh y -\imath \sinx \ \sinh y$[/tex]

quindi (tenendo presente la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche [tex]$\cosh^2 w-\sinh^2 w=1$[/tex]):

[tex]$|\cos z| = \sqrt{\cos^2 x \cosh^2 y + \sin^2 x \sinh^2 y }=\sqrt{\cos^2 x +\sinh^2 y}$[/tex].

Questa formula, tra le altre cose, consente di affermare che la funzione coseno non è limitata in [tex]$\mathbb{C}$[/tex] (e non potrebbe essere altrimenti, giacché essa è intera e vale il teorema di Liouville).