Moduli di Numeri Complessi
Ciao a tutti! Mi sono imbattuto in una dimostrazione all'apparenza banalissima, ma che mi fa riflettere da un po' senza trovare una soluzione... L'esercizio chiede di dimostrare che $ |\bar w z + w \bar z|<=2|wz| $.
Io ho proceduto così:
$ |\bar w z + w \bar z|^2=(\bar w z+w \bar z)(w \bar z+ \bar w z) $, in quanto il modulo al quadrato di un numero complesso è il prodotto tra lo stesso ed il suo complesso coniugato. Poi, sviluppando il prodotto, ho ottenuto:
$ \bar w^2 z^2 + 2w \bar w z \bar z + w^2 \bar z^2 $.
A destra della disuguaglianza mi sono invece mosso così:
$ (2|wz|)^2=4(wz)(\bar w \bar z)=4w \bar w z \bar z $.
Mi sento vicinissimo all'arrivo, ma non riesco a concludere... Qualcuno ha qualche consiglio finale? Grazie mille a chiunque mi dedicherà del tempo
Io ho proceduto così:
$ |\bar w z + w \bar z|^2=(\bar w z+w \bar z)(w \bar z+ \bar w z) $, in quanto il modulo al quadrato di un numero complesso è il prodotto tra lo stesso ed il suo complesso coniugato. Poi, sviluppando il prodotto, ho ottenuto:
$ \bar w^2 z^2 + 2w \bar w z \bar z + w^2 \bar z^2 $.
A destra della disuguaglianza mi sono invece mosso così:
$ (2|wz|)^2=4(wz)(\bar w \bar z)=4w \bar w z \bar z $.
Mi sento vicinissimo all'arrivo, ma non riesco a concludere... Qualcuno ha qualche consiglio finale? Grazie mille a chiunque mi dedicherà del tempo
Risposte
$ w=\rhoe^{i\theta} $ ; $ z=re^{i\alpha} $ allora $ \rhoe^{-i\alpha} $ è il coniugato di $ w $ e analogamente per $ z $, quindi la tua relazione si riduce a $ \rho r|e^{i\theta-i\alpha}+e^{i\alpha-i\theta}|<2\rho r $ che è banalmente vera in quanto il termine sotto il segno di modulo è esattamente $ 2cos(\alpha-\theta) $ che ha il suo massimo a $ 2 $.
Grazie mille! Ma quindi non è possibile arrivare a dimostrare la formula con il mio procedimento?
Salve a tutti!Sono nuovo qui e non sono sicuro sia questo il posto adatto(in tal caso me ne scuso in anticipo)..ad ogni modo incontro difficoltà nello svolgimento dell'esercizio (z^4/modulo di z)+8=0.Ho provato scomponendo in a+ib e anche cercando di semplificare moltiplicando ambi i membri per il coniugato ma mi blocco per via della radice causata dal modulo di z.Se qualcuno fosse cosi gentile da aiutarmi, grazie in anticipo
i) la soluzione esiste sicuramente ma non penso sia comoda
ii) $ z=\rhoe^{i\theta} $ allora la tua equazione diviene $ (\rho^4e^{i4\theta})/(\rho) =-8 $ deve quindi essere che $ 4\theta=\pi [2\pi] $ quindi $ \theta=+- (\pi)/(2); \rho=2 $ da cui $ z=+- 2 $
ii) $ z=\rhoe^{i\theta} $ allora la tua equazione diviene $ (\rho^4e^{i4\theta})/(\rho) =-8 $ deve quindi essere che $ 4\theta=\pi [2\pi] $ quindi $ \theta=+- (\pi)/(2); \rho=2 $ da cui $ z=+- 2 $
Inanzitutto di ringrazio per la risposta in cosi poco tempo,davvero...supponevo dovessi usare la forma esponenziale,ma non sapevo come metterci le mani..un unica cosa:io so posso trovare p con la formula (a^2+b^2)^1/2,ma come l'hai trovata conoscendo solo l'angolo teta?(in modo da ottenere poi il risultato finale)
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