Modello logistico
Salve a tutti!
Mi sono reso conto che non sono in grado di risolvere il seguente problema ai valori inziali:
\[ \begin{cases} \dot x = ax-bx^2 \\ x(0)=x_0 \end{cases}\]
Sul testo che sto seguendo, viene riportata la seguente soluzione:
\[ x(t)=\frac{ax_0}{bx_0+(a-bx_0)\exp(-at) } \]
La quale viene trovata risolvendo il problema tramite integrali definiti.
Per esercitarmi e riprendere un po' la mano con i conti volevo per prima cosa trovare la soluzione generale del problema per poi determinare la costante di integrazione tramite la condizione iniziale.
Posto i passaggi che ho eseguito:
\[\begin{split}
&\int \frac{dx}{ax-bx^2}=\int dt \Rightarrow \\ \\
& \int \frac{dx}{ax}+\int \frac{bdx}{a(a-bx)}=t+C \Rightarrow \\ \\
& \ln(x)-\ln(a-bx)=at+C \Rightarrow \\ \\
& \frac{x}{a-bx}=C\exp(at) \Rightarrow \\ \\
& x= \frac{aC}{bC+\exp(-at)}
\end{split} \]
risultato non in accordo con il precedente dato.
Ora come ora non riesco a trovare l'errore/errori, quindi mi chiede se qualcuno fosse così gentile da farmi vedere dove è che sbaglio.
Grazie in anticipo a tutti.
Mi sono reso conto che non sono in grado di risolvere il seguente problema ai valori inziali:
\[ \begin{cases} \dot x = ax-bx^2 \\ x(0)=x_0 \end{cases}\]
Sul testo che sto seguendo, viene riportata la seguente soluzione:
\[ x(t)=\frac{ax_0}{bx_0+(a-bx_0)\exp(-at) } \]
La quale viene trovata risolvendo il problema tramite integrali definiti.
Per esercitarmi e riprendere un po' la mano con i conti volevo per prima cosa trovare la soluzione generale del problema per poi determinare la costante di integrazione tramite la condizione iniziale.
Posto i passaggi che ho eseguito:
\[\begin{split}
&\int \frac{dx}{ax-bx^2}=\int dt \Rightarrow \\ \\
& \int \frac{dx}{ax}+\int \frac{bdx}{a(a-bx)}=t+C \Rightarrow \\ \\
& \ln(x)-\ln(a-bx)=at+C \Rightarrow \\ \\
& \frac{x}{a-bx}=C\exp(at) \Rightarrow \\ \\
& x= \frac{aC}{bC+\exp(-at)}
\end{split} \]
risultato non in accordo con il precedente dato.
Ora come ora non riesco a trovare l'errore/errori, quindi mi chiede se qualcuno fosse così gentile da farmi vedere dove è che sbaglio.
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Sbagli a non usare gli integrali definiti e la condizione iniziale.
Innanzitutto, nota che se \(ax_0-bx_0^2 =0\), la soluzione stazionaria \(\bar{x}(t)=x_0\) è l'unica soluzione del PdC assegnato.*
D'altra parte, dato che siamo sempre in regime di unicità, se \(ax_0-bx_0^2 \neq 0\), la soluzione massimale \(x(t)=x(t;x_0)\) del tuo problema non assume mai il valore \(x_0\) e, perciò, la quantità \(ax(t)-bx^2(t)\) o è sempre \(>0\) o è sempre \(<0\) nell'intervallo di definizione di \(x(t)\): pertanto le soluzioni del tuo PdC sono strettamente monotone (crescenti se \(ax_0-bx_0^2 >0\), descrescenti altrimenti).
Ne consegue che, scelto \(x_0\) in modo che \(ax_0-bx_0^2 \neq 0\), puoi dividere la EDO m.a.m. per \(ax(t)-bx^2(t)\), ottenendo la forma equivalente:
\[
\frac{\dot{x}(t)}{ax(t)-bx^2(t)} = 1\; ;
\]
dato che l'uguaglianza è verificata per ogni \(t\) appartenente all'intervallo di definizione di \(x(t)\), si può integrare m.a.m. ottenendo:
\[
\int_{0}^t \frac{\dot{x}(\tau)}{ax(\tau)-bx^2(\tau)}\ \text{d}\tau = t\; ;
\]
da quanto osservato prima circa la monotonia delle soluzioni segue che è lecito il cambiamento di variabile \(\xi = x(\tau)\) nel primo membro dell'ultima uguaglianza: dunque, la precedente si riscrive:
\[
\int_{x_0}^{x(t)} \frac{1}{a\xi -b\xi^2}\ \text{d}\xi = t
\]
e da questa relazione viene fuori il risultato del testo.
__________
* In particolare, risolvendo l'equazione \(ax-bx^2=0\) si trovano le due soluzioni \(x_0^1=0\) ed \(x_0^2=b/a\) (se \(a=0\), ovviamente, c'è solo la soluzione nulla). Pertanto le soluzioni stazionarie della tua EDO sono due e precisamente quelle definite da \(x(t;x_0^1)=x_0^1\) e \(x(t;x_0^2)=x_0^2\); ognuna di esse risolve in maniera unica il PdC:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t)=a\ x(t)-b\ x^2(t)\\
x(0)=x_0^i
\end{cases} \qquad \text{per } i=1,2\; .
\]
Innanzitutto, nota che se \(ax_0-bx_0^2 =0\), la soluzione stazionaria \(\bar{x}(t)=x_0\) è l'unica soluzione del PdC assegnato.*
D'altra parte, dato che siamo sempre in regime di unicità, se \(ax_0-bx_0^2 \neq 0\), la soluzione massimale \(x(t)=x(t;x_0)\) del tuo problema non assume mai il valore \(x_0\) e, perciò, la quantità \(ax(t)-bx^2(t)\) o è sempre \(>0\) o è sempre \(<0\) nell'intervallo di definizione di \(x(t)\): pertanto le soluzioni del tuo PdC sono strettamente monotone (crescenti se \(ax_0-bx_0^2 >0\), descrescenti altrimenti).
Ne consegue che, scelto \(x_0\) in modo che \(ax_0-bx_0^2 \neq 0\), puoi dividere la EDO m.a.m. per \(ax(t)-bx^2(t)\), ottenendo la forma equivalente:
\[
\frac{\dot{x}(t)}{ax(t)-bx^2(t)} = 1\; ;
\]
dato che l'uguaglianza è verificata per ogni \(t\) appartenente all'intervallo di definizione di \(x(t)\), si può integrare m.a.m. ottenendo:
\[
\int_{0}^t \frac{\dot{x}(\tau)}{ax(\tau)-bx^2(\tau)}\ \text{d}\tau = t\; ;
\]
da quanto osservato prima circa la monotonia delle soluzioni segue che è lecito il cambiamento di variabile \(\xi = x(\tau)\) nel primo membro dell'ultima uguaglianza: dunque, la precedente si riscrive:
\[
\int_{x_0}^{x(t)} \frac{1}{a\xi -b\xi^2}\ \text{d}\xi = t
\]
e da questa relazione viene fuori il risultato del testo.
__________
* In particolare, risolvendo l'equazione \(ax-bx^2=0\) si trovano le due soluzioni \(x_0^1=0\) ed \(x_0^2=b/a\) (se \(a=0\), ovviamente, c'è solo la soluzione nulla). Pertanto le soluzioni stazionarie della tua EDO sono due e precisamente quelle definite da \(x(t;x_0^1)=x_0^1\) e \(x(t;x_0^2)=x_0^2\); ognuna di esse risolve in maniera unica il PdC:
\[
\begin{cases}
\dot{x}(t)=a\ x(t)-b\ x^2(t)\\
x(0)=x_0^i
\end{cases} \qquad \text{per } i=1,2\; .
\]
Mah sinceramente credevo di aver fatto un po' di confusione in alcuni passaggi con la costante di integrazione e/o con i logaritmi.
Comunque mi pare un po' strano che non si arrivi alla stessa conclusione prima trovando la soluzione generale per poi imporre la condizione iniziale.
Ad ogni modo grazie mille per la dritta !
Comunque mi pare un po' strano che non si arrivi alla stessa conclusione prima trovando la soluzione generale per poi imporre la condizione iniziale.
Ad ogni modo grazie mille per la dritta !
Ma non capisco, poi, perchè secondo te la formula che hai trovato "non è in accordo" con la soluzione del testo.
Invero, sostituendo la condizione iniziale, si deve determinare \(C\) in modo che risulti:
\[
x_0=\frac{aC}{bC+1}
\]
e ciò si verifica solo se:
\[
C=\frac{x_0}{a-bx_0}
\]
quindi la tua soluzione è:
\[
x(t) = \frac{a\ \frac{x_0}{a-bx_0}}{b\ \frac{x_0}{a-bx_0}+\exp (-at)} = \frac{ax_0}{bx_0+(a-bx_0)\exp (-at)}
\]
proprio come sul libro.
Ad ogni modo, è sempre meglio usare gli integrali definiti (sopratutto se studi Matematica).
Invero, sostituendo la condizione iniziale, si deve determinare \(C\) in modo che risulti:
\[
x_0=\frac{aC}{bC+1}
\]
e ciò si verifica solo se:
\[
C=\frac{x_0}{a-bx_0}
\]
quindi la tua soluzione è:
\[
x(t) = \frac{a\ \frac{x_0}{a-bx_0}}{b\ \frac{x_0}{a-bx_0}+\exp (-at)} = \frac{ax_0}{bx_0+(a-bx_0)\exp (-at)}
\]
proprio come sul libro.
Ad ogni modo, è sempre meglio usare gli integrali definiti (sopratutto se studi Matematica).
Hai perfettamente ragione gugo!
Ero convinto che si dovesse trovare come soluzione generale qualcosa del tipo
\[ x=\frac{aC}{bC+(a-bC)\exp(-at)} \]
in quanto (molto ingenuamente) pensavo che \(C=x_0\)
Credo che dopo questo si sia capito che non sono uno studente in matematica
Ti ringrazio nuovamente per i preziosi consigli dati!
Ero convinto che si dovesse trovare come soluzione generale qualcosa del tipo
\[ x=\frac{aC}{bC+(a-bC)\exp(-at)} \]
in quanto (molto ingenuamente) pensavo che \(C=x_0\)
Credo che dopo questo si sia capito che non sono uno studente in matematica
Ti ringrazio nuovamente per i preziosi consigli dati!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo