Mittag-Leffler
Qualcuno sa spiegarmi in cosa consiste in analisi complessa uno sviluppo di MIttag-Leffler? l'ho già letto diverse volte in esercizi online ovviamente senza soluzione, ma non ho trovato nulla da nessuna parte che spieghi cosa sia.
Grazie per l'attenzione
Grazie per l'attenzione
Risposte
[mod="dissonance"]Il titolo non va mai in TUTTO MAIUSCOLO. Cambialo.[/mod]
ah scusi
Dico ciò che mi ricorda il nome... Non so che relazione ciò abbia con gli esercizi che hai sotto mano, quindi non so se ti potrà essere d'aiuto.
A quanto ricordo, il problema di Mittag-Leffler è il seguente:
Si dimostra che questo problema ha un'infinità di soluzioni, che differiscono tra loro per una funzione intera arbitraria; la soluzione generale del problema è del tipo:
[tex]$f(z)=g(z)+\sum_{n=1}^{+\infty} g_n(\tfrac{1}{z-z_n}) +Q_n(z)$[/tex]
in cui [tex]$g$[/tex] è la funzione intera arbitraria ed i [tex]$Q_n$[/tex] sono polinomi univocamente determinati (questo è il teorema di Mittag-Leffler).
Ovviamente se si vuole che [tex]$f$[/tex] abbia in [tex]$z_n$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p_n$[/tex] basta prendere [tex]$g_n(\zeta)=\zeta^{p_n}$[/tex].
Come detto, non so questo fatto in che relazione sia con i tuoi esercizi.
La cosa migliore sarebbe postare un esercizio, secondo me.
A quanto ricordo, il problema di Mittag-Leffler è il seguente:
Data una successione [tex]$(z_n)$[/tex] si punti [tex]$\in \mathbb{C}$[/tex] tali che:
[tex]$\forall n,\ |z_n|\leq |z_{n+1}|$[/tex] e [tex]$\lim_n z_n =\infty$[/tex],
ed una successione di funzioni intere [tex]$g_n:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$[/tex] nulle in [tex]$0$[/tex], è possibile determinare una funzione [tex]$f:\mathbb{C}\setminus \{ z_n\}_{n\in\mathbb{N}}\to \mathbb{C}$[/tex] meromorfa, con singolarità isolate nei punti di [tex]$\{ z_n\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] e tale che abbia parte singolare [tex]$g_n(\tfrac{1}{z-z_n})$[/tex] intorno a [tex]$z_n$[/tex]?
Si dimostra che questo problema ha un'infinità di soluzioni, che differiscono tra loro per una funzione intera arbitraria; la soluzione generale del problema è del tipo:
[tex]$f(z)=g(z)+\sum_{n=1}^{+\infty} g_n(\tfrac{1}{z-z_n}) +Q_n(z)$[/tex]
in cui [tex]$g$[/tex] è la funzione intera arbitraria ed i [tex]$Q_n$[/tex] sono polinomi univocamente determinati (questo è il teorema di Mittag-Leffler).
Ovviamente se si vuole che [tex]$f$[/tex] abbia in [tex]$z_n$[/tex] un polo d'ordine [tex]$p_n$[/tex] basta prendere [tex]$g_n(\zeta)=\zeta^{p_n}$[/tex].
Come detto, non so questo fatto in che relazione sia con i tuoi esercizi.
La cosa migliore sarebbe postare un esercizio, secondo me.
grazie gugol per aver risposto innnazitutto!
Si tratta di un problemino di metodi matematici della fisica 1 (corso del terzo anno in fisica) che vedo negli testi degli esami su internet di qualche ateneo. E siccome io a Genova non li ho mai visti sti cosi di Mittag Leffler ero curioso di impararli.
Eccone uno:
Calcolare lo sviluppo di Mittag-Leffler della funzione
$f(z) =1/(cosz-cosa),$ $-pi>a>pi,$ $a != 0 $
reperibile al link http://www.science.unitn.it/~cognola/DI ... critti.pdf (è l'esercizio n.2)
Si tratta di un problemino di metodi matematici della fisica 1 (corso del terzo anno in fisica) che vedo negli testi degli esami su internet di qualche ateneo. E siccome io a Genova non li ho mai visti sti cosi di Mittag Leffler ero curioso di impararli.
Eccone uno:
Calcolare lo sviluppo di Mittag-Leffler della funzione
$f(z) =1/(cosz-cosa),$ $-pi>a>pi,$ $a != 0 $
reperibile al link http://www.science.unitn.it/~cognola/DI ... critti.pdf (è l'esercizio n.2)
Applicando la formula di prostaferesi per la differenza di coseni si ha:
[tex]$\cos z-\cos a=2\sin \frac{a+z}{2}\ \sin \frac{a-z}{2}$[/tex]
cosicché la funzione è meromorfa ed ha poli nei punti [tex]$z_n^{(1)}= a+2n\pi,\ z_n^{(2)}=-a+2n\pi$[/tex], tutti del primo ordine.
Quindi ti si chiede di determinare delle costanti [tex]$c_n^{(1)},\ c_n^{(2)}$[/tex], dei polinomi [tex]$Q_n^{(1)},\ Q_n^{(2)}$[/tex] ed una funzione intera [tex]$g$[/tex] tali che:
[tex]$\frac{1}{\cos z-\cos a} = g(z)+\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{c_n^{(1)}}{z-z_n^{(1)}} +Q_n^{(1)} (z) \right] +\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{c_n^{(2)}}{z-z_n^{(2)}} +Q_n^{(2)} (z)\right]$[/tex].
La cosa non è semplicissima (anche perchè non l'ho mai fatto un esercizio del genere, quindi non so spiegarmi decentemente).
Innanzitutto è evidente che i [tex]$c_n^{(i)}$[/tex] coincidono con i residui integrali di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$z_n^{(i)}$[/tex], sicché:
[tex]$c_n^{(i)} =\text{Res} (f(z);z_n^{(i)}) =\lim_{z\to z_n^{(i)}} \frac{z-z_n^{(i)}}{2\sin \frac{a+z}{2}\ \sin \frac{a-z}{2}}$[/tex];
invece i polinomi [tex]$Q_n^{(i)} (z)$[/tex] hanno grado [tex]$N_n^{(1)}=0$[/tex] (perchè il grado di tali polinomi è legato in qualche modo alla sommabilità della serie [tex]$\sum \frac{1}{|z_n^{(i)}|^\alpha}$[/tex]) e sono del tipo:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\sum_{k=0}^{N^{(i)}} \frac{z^k}{|z_n^{(i)}|^{k+1}}$[/tex]
quindi:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\frac{1}{|z_n^{(i)}|}$[/tex].
Ora rimane da determinare la funzione [tex]$g(z)$[/tex].
La funzione assegnata [tex]$f$[/tex] è periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] e, direi, anche le funzioni definite dalle sommatorie sono periodiche di periodo [tex]$2\pi$[/tex] (prova a sostituire [tex]$z+2\pi$[/tex] al posto di [tex]$z$[/tex] ed a fare due conti); ergo [tex]$g$[/tex] è periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] e quindi basta considerare la sua restrizione alla striscia [tex]$0\leq \Re e\ z\leq 2\pi$[/tex].
Quello che penso e che [tex]$g$[/tex] sia in realtà costante: per far vedere ciò dovresti provare ad usare il teorema di Lioville (ad esempio) nella striscia.
Insomma, questo sembra essere il percorso da seguire.
Prova a fare i conti e fammi sapere.
[tex]$\cos z-\cos a=2\sin \frac{a+z}{2}\ \sin \frac{a-z}{2}$[/tex]
cosicché la funzione è meromorfa ed ha poli nei punti [tex]$z_n^{(1)}= a+2n\pi,\ z_n^{(2)}=-a+2n\pi$[/tex], tutti del primo ordine.
Quindi ti si chiede di determinare delle costanti [tex]$c_n^{(1)},\ c_n^{(2)}$[/tex], dei polinomi [tex]$Q_n^{(1)},\ Q_n^{(2)}$[/tex] ed una funzione intera [tex]$g$[/tex] tali che:
[tex]$\frac{1}{\cos z-\cos a} = g(z)+\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{c_n^{(1)}}{z-z_n^{(1)}} +Q_n^{(1)} (z) \right] +\left[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{c_n^{(2)}}{z-z_n^{(2)}} +Q_n^{(2)} (z)\right]$[/tex].
La cosa non è semplicissima (anche perchè non l'ho mai fatto un esercizio del genere, quindi non so spiegarmi decentemente).
Innanzitutto è evidente che i [tex]$c_n^{(i)}$[/tex] coincidono con i residui integrali di [tex]$f(z)$[/tex] intorno a [tex]$z_n^{(i)}$[/tex], sicché:
[tex]$c_n^{(i)} =\text{Res} (f(z);z_n^{(i)}) =\lim_{z\to z_n^{(i)}} \frac{z-z_n^{(i)}}{2\sin \frac{a+z}{2}\ \sin \frac{a-z}{2}}$[/tex];
invece i polinomi [tex]$Q_n^{(i)} (z)$[/tex] hanno grado [tex]$N_n^{(1)}=0$[/tex] (perchè il grado di tali polinomi è legato in qualche modo alla sommabilità della serie [tex]$\sum \frac{1}{|z_n^{(i)}|^\alpha}$[/tex]) e sono del tipo:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\sum_{k=0}^{N^{(i)}} \frac{z^k}{|z_n^{(i)}|^{k+1}}$[/tex]
quindi:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\frac{1}{|z_n^{(i)}|}$[/tex].
Ora rimane da determinare la funzione [tex]$g(z)$[/tex].
La funzione assegnata [tex]$f$[/tex] è periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] e, direi, anche le funzioni definite dalle sommatorie sono periodiche di periodo [tex]$2\pi$[/tex] (prova a sostituire [tex]$z+2\pi$[/tex] al posto di [tex]$z$[/tex] ed a fare due conti); ergo [tex]$g$[/tex] è periodica di periodo [tex]$2\pi$[/tex] e quindi basta considerare la sua restrizione alla striscia [tex]$0\leq \Re e\ z\leq 2\pi$[/tex].
Quello che penso e che [tex]$g$[/tex] sia in realtà costante: per far vedere ciò dovresti provare ad usare il teorema di Lioville (ad esempio) nella striscia.
Insomma, questo sembra essere il percorso da seguire.
Prova a fare i conti e fammi sapere.
"gugo82":
Applicando la formula di prostaferesi per la differenza di coseni si ha:
invece i polinomi [tex]$Q_n^{(i)} (z)$[/tex] hanno grado [tex]$N_n^{(1)}=0$[/tex] (perchè il grado di tali polinomi è legato in qualche modo alla sommabilità della serie [tex]$\sum \frac{1}{|z_n^{(i)}|^\alpha}$[/tex]) e sono del tipo:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\sum_{k=0}^{N^{(i)}} \frac{z^k}{|z_n^{(i)}|^{k+1}}$[/tex]
ecco non ho capito questo passaggio: che legame c'è tra la sommabilità della suddetta serie e il grado del polinomio?
Ok invece ti ho seguito per la periodicità e proverò la cosa del Teo di Liouville.
"antani":
[quote="gugo82"]Applicando la formula di prostaferesi per la differenza di coseni si ha:
invece i polinomi [tex]$Q_n^{(i)} (z)$[/tex] hanno grado [tex]$N_n^{(1)}=0$[/tex] (perchè il grado di tali polinomi è legato in qualche modo alla sommabilità della serie [tex]$\sum \frac{1}{|z_n^{(i)}|^\alpha}$[/tex]) e sono del tipo:
[tex]$Q_n^{(i)} (z)=-\sum_{k=0}^{N^{(i)}} \frac{z^k}{|z_n^{(i)}|^{k+1}}$[/tex]
ecco non ho capito questo passaggio: che legame c'è tra la sommabilità della suddetta serie e il grado del polinomio?
Ok invece ti ho seguito per la periodicità e proverò la cosa del Teo di Liouville.[/quote]
Ti consiglio di cercarlo su un libro... Se non ricordo male, se [tex]$A=\inf \{ \alpha>0 :\ \sum \tfrac{1}{|z_n^{(i)}|^\alpha} \text{ è sommabile}\}$[/tex], allora il grado di [tex]$Q_n^{(i)}$[/tex] è [tex]$A-1$[/tex]; però non ne sono sicurissimo.
Penso che questo fatto stia sullo Ahlfors; altrimenti mettiti a scartabellare un po' di libri di Analisi Complessa.
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