Misurabilità del complementare
Stavo seguente l'interessante dimostrazione presente in queste dispense https://www.mat.uniroma2.it/~zsido/Rea_ARC.pdf
a pagina 10, sulla misrabilità del complementare di un qualsiasi insieme misurabile (secondo Lebesgue), ma ci sono diversi passaggi che trovo un po' oscuri. La definizione di insieme misurabile che si segue é che un insieme $E$ si dice misurabile se fissato comunque $\epsilon>0$ esiste un aperto $A\supsetE$ tale che $|A-E|_e<\epsilon$.
L'inizio è ok: Sia \(\displaystyle E \) misurabile. si ha \(\displaystyle \complement(E) = \complement(\bar{E}) \cup{(\bar{E}-E)}\). Poiché \(\displaystyle \complement{\bar{E}} \) è aperto (e quindi misurabile) è sufficiente provare che $\bar{E}-E$ ha misura esterna nulla ed è quindi misurabile. Prendiamo aperti $A_k\supsetE$ con $|A_k - E|_e<1/k$. Ora iniziano i problemi: Non è restrittivo (???) supporre che $A_k$ sia contenuto nell'$1/k - i nvolucro di E$ (non ho ben capito cosa sia questo $1/k - i nvolucro$ credo, o meglio azzardo, l'insieme dei punti la cui distanza da $E$ è minore di $1/k$ cioè ${x\in R^n : d(x;E)<1/k}$, ma non sono per niente sicuro). Si ha quindi \(\displaystyle dist(\complement(A_k) ; E) <1/k \). Ne segue (perché?) $\bar{E} = \cap A_k$. Infine si conclude facilmente osservando che $|\bar{E} - E| \leq |A_k - E|<1/k \forall k$.
Non capisco la conseguenzialità di questi passaggi e mi sorprende come si arrivi ad affermare che $\bar{E}$ coincida con l'intersezione di tutti gli $A_k$ visto che ciascun aperto contiene $E$ ma mi sembra che ci possono essere parti di $\bar{E}-E$ che possono andare a coincidere con la frontiera di uno questi aperti e quindi non essere contenuto negli $A_k$. Penso, molto banalmente, ad un cerchio semi aperto inscritto in un quadrato aperto: quando vado a chiudere tutto il cerchio ci saranno dei punti (i punti di tangenza) della chiusura che sono proprio sulla frontiera del quadrato aperto e che quindi non apparterranno all'aperto.
Inoltre mi fa pensare che su altri testi/dispense questa stessa dimostrazione è molto più elaborata: prima si dimostra che tutti i chiusi sono misurabili (e già quello è un lavoraccio) e poi si usa la proprietà che l'unione numerabile di insiemi misurabili è misurabile. Per questo volevo capire questa dimostrazione così più breve.
a pagina 10, sulla misrabilità del complementare di un qualsiasi insieme misurabile (secondo Lebesgue), ma ci sono diversi passaggi che trovo un po' oscuri. La definizione di insieme misurabile che si segue é che un insieme $E$ si dice misurabile se fissato comunque $\epsilon>0$ esiste un aperto $A\supsetE$ tale che $|A-E|_e<\epsilon$.
L'inizio è ok: Sia \(\displaystyle E \) misurabile. si ha \(\displaystyle \complement(E) = \complement(\bar{E}) \cup{(\bar{E}-E)}\). Poiché \(\displaystyle \complement{\bar{E}} \) è aperto (e quindi misurabile) è sufficiente provare che $\bar{E}-E$ ha misura esterna nulla ed è quindi misurabile. Prendiamo aperti $A_k\supsetE$ con $|A_k - E|_e<1/k$. Ora iniziano i problemi: Non è restrittivo (???) supporre che $A_k$ sia contenuto nell'$1/k - i nvolucro di E$ (non ho ben capito cosa sia questo $1/k - i nvolucro$ credo, o meglio azzardo, l'insieme dei punti la cui distanza da $E$ è minore di $1/k$ cioè ${x\in R^n : d(x;E)<1/k}$, ma non sono per niente sicuro). Si ha quindi \(\displaystyle dist(\complement(A_k) ; E) <1/k \). Ne segue (perché?) $\bar{E} = \cap A_k$. Infine si conclude facilmente osservando che $|\bar{E} - E| \leq |A_k - E|<1/k \forall k$.
Non capisco la conseguenzialità di questi passaggi e mi sorprende come si arrivi ad affermare che $\bar{E}$ coincida con l'intersezione di tutti gli $A_k$ visto che ciascun aperto contiene $E$ ma mi sembra che ci possono essere parti di $\bar{E}-E$ che possono andare a coincidere con la frontiera di uno questi aperti e quindi non essere contenuto negli $A_k$. Penso, molto banalmente, ad un cerchio semi aperto inscritto in un quadrato aperto: quando vado a chiudere tutto il cerchio ci saranno dei punti (i punti di tangenza) della chiusura che sono proprio sulla frontiera del quadrato aperto e che quindi non apparterranno all'aperto.
Inoltre mi fa pensare che su altri testi/dispense questa stessa dimostrazione è molto più elaborata: prima si dimostra che tutti i chiusi sono misurabili (e già quello è un lavoraccio) e poi si usa la proprietà che l'unione numerabile di insiemi misurabili è misurabile. Per questo volevo capire questa dimostrazione così più breve.
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