(misurabile)o(misurabile) è misurabile?
Studiando teoria della misura..
(o sta per "composizione")
(continua)o(misurabile) è misurabile
(boreliana - la controimmagine di un aperto è boreliana)o(misurabile) è misurabile
a questo punto mi domando: è possibile generalizzare ancora? visto che la seconda è generalizzazione della prima (continua=>boreliana); posso dire:
?? (misurabile)o(misurabile) è misurabile ??
sarò più preciso, a scanso di equivoci:
siano $X$ spazio misurabile, $Y$ spazio topologico
$f:X->Y$ è misurabile $<=>$ la controimmagine di un aperto (di Y) è misurabile (di X)
siano ora:
$X$ spazio misurabile
$Y$ spazio topologico e spazio misurabile (senza alcun legame tra la topologia e la sigma algebra)
$Z$ spazio topologico
$f:X->Y$, $g:Y->Z$ misurabili
?? allora $gof$ è misurabile ??
io penso di no: ragionando al contrario, e sfruttando le dimostrazioni dei primi due casi, ho pensato:
sia $E subset Z$ aperto
sicuramente $F:=g^(-1)(E)$ è misurabile (per la misurabilità di g)
se F appartiene alla sigma algebra generata da f ho terminato.
Ma la sigma algebra generata (visto che f è misurabile) conterrà gli aperti di Y, e quindi l'ipotesi minima del mio teorema è che questa sigma algebra sia quella di Borel.
Che dite?
(o sta per "composizione")
(continua)o(misurabile) è misurabile
(boreliana - la controimmagine di un aperto è boreliana)o(misurabile) è misurabile
a questo punto mi domando: è possibile generalizzare ancora? visto che la seconda è generalizzazione della prima (continua=>boreliana); posso dire:
?? (misurabile)o(misurabile) è misurabile ??
sarò più preciso, a scanso di equivoci:
siano $X$ spazio misurabile, $Y$ spazio topologico
$f:X->Y$ è misurabile $<=>$ la controimmagine di un aperto (di Y) è misurabile (di X)
siano ora:
$X$ spazio misurabile
$Y$ spazio topologico e spazio misurabile (senza alcun legame tra la topologia e la sigma algebra)
$Z$ spazio topologico
$f:X->Y$, $g:Y->Z$ misurabili
?? allora $gof$ è misurabile ??
io penso di no: ragionando al contrario, e sfruttando le dimostrazioni dei primi due casi, ho pensato:
sia $E subset Z$ aperto
sicuramente $F:=g^(-1)(E)$ è misurabile (per la misurabilità di g)
se F appartiene alla sigma algebra generata da f ho terminato.
Ma la sigma algebra generata (visto che f è misurabile) conterrà gli aperti di Y, e quindi l'ipotesi minima del mio teorema è che questa sigma algebra sia quella di Borel.
Che dite?
Risposte
Studi sul Rudin?
La def di funzione misurabile si da fra due spazi misurabili (nel senso che sono dotati entrambi di $\sigma$-algebra).
E richiede che la controimmagine di un misurabile sia misurabile.
Ovviamente la composta di funzioni misurabili è misurabile.
Se "$Y$" è spazio topologico, si considera la struttura misurabile indotta dalla topolgia, ovvero quella dei boreliani.
La def di funzione misurabile si da fra due spazi misurabili (nel senso che sono dotati entrambi di $\sigma$-algebra).
E richiede che la controimmagine di un misurabile sia misurabile.
Ovviamente la composta di funzioni misurabili è misurabile.
Se "$Y$" è spazio topologico, si considera la struttura misurabile indotta dalla topolgia, ovvero quella dei boreliani.
Si, studio sul Rudin.. anche se più correttamente: studierò sul Rudin: stavo rileggendo gli appunti per "avere un'idea di cosa andavo incontro" prima di leggere il Rudin e m'è venuta sta domanda..
Da cosa l'hai capito: questa definizione è usata solo da lui?
Effetivamente ora che lo leggo vedo che condivide la mia definizione e non la tua.. Invece il mio prof di calcolo delle probabilità usava la tua: durante il corso non mi interessai del problema..tanto vidi che erano equivalenti.
Con la tua è ovvio vedere che la composizione di misurabili è misurabile,ma con le mie definizioni: è corretto il mio ragionamento? Direi di si..con la mia inevitabilmente cadi nei boreliani..
Da cosa l'hai capito: questa definizione è usata solo da lui?
Effetivamente ora che lo leggo vedo che condivide la mia definizione e non la tua.. Invece il mio prof di calcolo delle probabilità usava la tua: durante il corso non mi interessai del problema..tanto vidi che erano equivalenti.
Con la tua è ovvio vedere che la composizione di misurabili è misurabile,ma con le mie definizioni: è corretto il mio ragionamento? Direi di si..con la mia inevitabilmente cadi nei boreliani..
Non ho una statistica su quanti usino una def o un'altra 
Ho studiato sul Rudin. Anzi, è ancora qui sulla mia scrivania da quando l'avevo tirato fuori per far schiattare gugo82
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#194049
Mi aveva colpito, pochi anni dopo, sentire una def diversa da Pistone, a un suo seminario (quando era un fanatico della probabilità astratta, alla francese. Poi si è "rovinato"...). Guada caso un probabilista, e guarda caso la tua stessa esperienza.
Però, pur essendo un (ex) analista, mi sembra che quella dei probabilisti sia la def più naturale.
Tra l'altro, richiedere che la controimmagine di un aperto sia misurabile, come fa il Rudin [pag. 8. Ho appena verificato, eh, gugo82!], senza neanche parlare di Borelaiani è una sconcezza didattica. IMHO
Ho studiato sul Rudin. Anzi, è ancora qui sulla mia scrivania da quando l'avevo tirato fuori per far schiattare gugo82
https://www.matematicamente.it/forum/-vp ... tml#194049
Mi aveva colpito, pochi anni dopo, sentire una def diversa da Pistone, a un suo seminario (quando era un fanatico della probabilità astratta, alla francese. Poi si è "rovinato"...). Guada caso un probabilista, e guarda caso la tua stessa esperienza.
Però, pur essendo un (ex) analista, mi sembra che quella dei probabilisti sia la def più naturale.
Tra l'altro, richiedere che la controimmagine di un aperto sia misurabile, come fa il Rudin [pag. 8. Ho appena verificato, eh, gugo82!], senza neanche parlare di Borelaiani è una sconcezza didattica. IMHO
Si, avevo letto quel messaggio e anche io t'ho invidiato
ma in ogni caso poi Rudin definisce i boreliani..
Anyway: the answer of my question?
ma in ogni caso poi Rudin definisce i boreliani..
Anyway: the answer of my question?
Do you really need an answer? Your God! It's only lazyness, an enormous amount of lazyness on your side!!!
Ma scusa, anche tu te ne sei accorto. Parlavi persino di mettere su $Y$ topologia e $\sigma$-algebra indipendenti l'una dall'altra. Occhio che ti cito per "danni moali" (se non anche per "lesioni provocate": il mio povero cuore strutturalista non regge a bestemmie simili).
Le strutture, con la def "alla Rudin" sono messe a muzzo.
Su $Y$ cosa ci metti? Niente di serio. A meno che tu non usi le topologie solo come elementi decorativi e in realtà guardi solo ai boreliani.
Quindi rassegnati, arrenditi ai probabilisti.
E ci mancherebbe, che ne tenesse anche nascosta l'esistenza!
Intendevo dire che non ne parla quando da la definizione di funzione misurabile.
Ma scusa, anche tu te ne sei accorto. Parlavi persino di mettere su $Y$ topologia e $\sigma$-algebra indipendenti l'una dall'altra. Occhio che ti cito per "danni moali" (se non anche per "lesioni provocate": il mio povero cuore strutturalista non regge a bestemmie simili).
Le strutture, con la def "alla Rudin" sono messe a muzzo.
Su $Y$ cosa ci metti? Niente di serio. A meno che tu non usi le topologie solo come elementi decorativi e in realtà guardi solo ai boreliani.
Quindi rassegnati, arrenditi ai probabilisti.
"Gaal Dornick":
ma in ogni caso poi Rudin definisce i boreliani..
E ci mancherebbe, che ne tenesse anche nascosta l'esistenza!
Intendevo dire che non ne parla quando da la definizione di funzione misurabile.
Si, la definizione "probabilistica" è effettivamente la più naturale.. Vabbè. Da "grande" vedrò un po' cosa usare..
Anyway sono abbastanza convinto della mia proposizione: meno di boreliana non se ne fa niente (con la mia definizione!).
Anyway sono abbastanza convinto della mia proposizione: meno di boreliana non se ne fa niente (con la mia definizione!).
"Gaal Dornick":
siano $X$ spazio misurabile, $Y$ spazio topologico
$f:X->Y$ è misurabile $<=>$ la controimmagine di un aperto (di Y) è misurabile (di X)
siano ora:
$X$ spazio misurabile
$Y$ spazio topologico e spazio misurabile (senza alcun legame tra la topologia e la sigma algebra)
$Z$ spazio topologico
$f:X->Y$, $g:Y->Z$ misurabili
?? allora $gof$ è misurabile ??
Allora, supponiamo che ci sia almeno un s.i. $A$ di $Y$ che sta nella sigma-algebra ma non nella sigma-algebra di Borel generata dalla topologia.
Prendo $Z=Y$ e $g = id_Y$.
Allora, $id^{-1} (A) = A$ che è misurabile ma non sta nella topologia.
Non vedo come, con la def di Rudin, si possa poter ottenere che $f^{-1}(A)$ sia misurabile. Si potrebbe anche fare un controesempio, immagino.
Thank you!
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