Misura sigma-finita

[sapie1]

Premetto che non mi piace l'argomento.. ma lo devo fare
Allora ho questo esercizio
Sia $ mu $ definita sulla $ sigma- $ algebra di Borel di $ RR $ come $ mu(A) $ uguale al numero di numeri razionali in A.
Provare che $ mu $ è una misura $ sigma- $ finita rispetto al quale ogni intervallo aperto di $ RR $ ha misura infinita.

Allora   $ mu $ è finita se $ mu(X)<+oo $ ed è $ sigma- $ finita se X unione numerabile di insiemi di misura finita :
$ X= uu_jA_j , A_j in A , mu(A_j)<+oo $

La $ sigma- $ algebra di Borel di $ RR $ contiene in particolare tutti gli aperti, i chiusi , quindi i compatti, e tutti gli insiemi che si possono ottenere da un infinità numerabile di aperti e chiusi mediante usuali operazioni insiemistiche.

Come devo procedere?? Vi ringrazio

[gugo82]

Innanzitutto, comincia a verificare che \(\mu\), definita a quel modo lì, sia una misura (i.e., che sia una funzione d'insieme nonnegativa, non banale e numerabilmente additiva su successioni d'insiemi misurabili a due a due disgiunti).

Poi passi a controllare se \(\mu\) è \(\sigma\)-finita: per fare ciò ti basta esibire una famiglia numerabile d'insiemi disgiunti aventi isura finita che abbia come unione tutto \(\mathbb{R}\) (questo è facile).

[sapie1]

ok grazie adesso ci provo