Misura secondo Peano-Jordan e secondo Lebesgue

[_Tipper]

Un insieme $D \subset \mathbb{R}^n$ si dice misurabile secondo Peano-Jordan se e solo le la misura della frontiera è zero, e fin qui tutto ok.
Quando un insieme si dice misurabile secondo Lebesgue? Ho visto che su Wikipedia c'è scritto che un insieme è misurabile secondo Lebesgue se e solo se è possibile assegnarli un volume, solo che mi pare un po' poco... c'è dell'altro?

Grazie.

[Eredir]

Un insieme $D$ è misurabile secondo Lebesgue se per ogni insieme $A$ si ha $m^(**)(A)=m^(**)(A\nnD)+m^(**)(A\nnD^c)$, dove $m^(**)(A)$ è la misura esterna di Lebesgue e $D^c$ il complementare di $D$.

Forse questo può esserti utile.

[_Tipper]

Ah, ho capito, grazie Eredir!

[miuemia]

te la do in per un sottinsieme di $RR$ ma questo si estende in $RR^n$... allora un insieme $EsubeRR$ è misurabile secondo Lebesgue se $AA AsubeRR$ si ha che:
$m^*(A)=m^*(AnnE)+m^*(AnnE^{c})$
dove $m^*$ è una misura esterna subadditiva.
ciao ciao

[_Tipper]

Visto ci sono faccio un altra domanda... Gli unici sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ di misura nulla secondo Peano-Jordan, sono gli inisiemi contenenti un numero finito, o numerabile, di punti, giusto?

EDIT: grazie anche a te miuemia!

[rubik2]

non so rispondere di preciso alla tua domanda, osservo però che $QQ$ è un insieme numerabile di punti e NON è misurabile. magari ti è utile come informazione

[_Tipper]

Hai ragione rubik, thanks.

[_Tipper]

Al tempo stesso $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue, o sbaglio?

[rubik2]

"Tipper":Al tempo stesso $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue, o sbaglio?

esatto. la misura di Lebesgue è $sigma$-additiva.

[_Tipper]

Ok, grazie ancora.