Misura perimetro e misura di hausdorff

[balestrav]

Considerando la definizione di misura perimetro di De Giorgi (cioè se E è un aperto la misura perimetro [tex]Per_E (\Omega)[/tex] è definita come la variazione della funzione caratteristica di E su [tex]\Omega[/tex]. Ora, mi è stato detto che se E è un aperto regolare questa misura coincide con la misura di Hausdorff n-1 dimensionale del bordo di E intersecato [tex]\Omega[/tex]. Se l'aperto E fosse l'insieme di sopralivello di una funzione abbastanza regolare questo sarebbe ancora vero?, cioè se [tex]u: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}[/tex] l'aperto [tex]\{x \in\mathbb{R}^n|u(x)>t\}[/tex] con t non punto critico è regolare (o se non lo è vale comunque l'uguaglianza tra misura perimetro e di hausdorff)? Grazie !

[Luca.Lussardi]

Se $u$ è a variazione limitata allora quasi ogni sopralivello (o sottolvello) di $u$ è un insieme di perimetro finito, quindi, almeno sulla frontiera essenziale, perimetro e misura di Hausdorff coincidono.

[balestrav]

Quindi perimetro e misura di Hausdorff coincidono anche se l'insieme non è regolare, basta che sia di perimetro finito.. Potresti darmi una breve giustificazione per questa affermazione o una referenza su dove poterlo trovare? Grazie!

[Rigel1]

Puoi vedere il Thm. 3.40 del libro di Ambrosio, Fusco, Pallara, "Functions of Bounded Variation and Free Discontinuity Problems".

[balestrav]

Grazie, ho visto il teorema dice che se u appartiene a BV gli insiemi di sopralivello {u>t} hanno perimetro finito per q.o t (rispetto alla misura di Lebesgue) e che per ogni boreliano B vale
[tex]|Du|(B)=\int_{\mathbb{R}}|D_{\chi_{\{u>t\}}}|(B) dt[/tex] e
[tex]Du(B)=\int_{\mathbb{R}}D_{\chi_{\{u>t\}}}(B) dt[/tex]
dove chi è la funzione caratteristica, ma non capisco come questo mi garantisca che la misura perimetro coincide in questo caso con la misura di Hausdorff..qualcuno ha una spiegazione?

[Rigel1]

Puoi guardare, sul medesimo libro, le pp. 158-159 (in particolare la Prop. 3.62).

[balestrav]

grazie