Misura per sottovarietà $m$-dimensionali di $RR^N$

[lordb]

Ciao a tutti,
mi sapreste dire che tipo di misura di usa con le sottovarietà $m$ ($m inNN,m
Sicuramente non è quella di Peano-Jordan, nè quella di Lebesgue...

Grazie in anticipo

[gugo82]

Mi addentro in un campo che non è proprio il mio... Se ci sono errori, spero che qualcuno li corregga.

Per le varietà di dimensione \(m\) qualsiasi ho visto per lo più usare la misura di Hausdorff \(m\)-dimensionale (la quale, per \(m=0\) coincide con la misura che conta; per \(m=N\) coincide con la misura di Lebesgue; per \(m=1\) coincide con l'ordinaria lunghezza di una curva, ammesso che la curva in questione sia sufficientemente liscia).

Per le varietà di dimensione \(N-1\) che sono bordi di insiemi "pieni", invece, c'è tutta una quantità di nozioni di "misure di area della superficie" che va dal generalissimo perimetro di De Giorgi, al contenuto di Minkowski, alla già mensionata misura di Hausdorff \(N-1\)-dimensionale.
Ovviamente, se la varietà è sufficientemente "buona", tutte queste misure forniscono lo stesso numero.

Per un'introduzione, potresti vedere le note di Ambrosio, Corso Introduttivo alla Teoria Geometrica della Misura ed alle Superfici Minime.

[lordb]

Ti ringrazio, vedrò di approfondire !!

Ciao