Misura nulla secondo Lebesgue

[thedarkhero]

L'insieme dei punti di discontinuità di una funzione ha misura nulla secondo Lebesgue se e solo se ha un numero di punti di discontinuità finito?

[Camillo]

Il numero di punti di discontinuità può anche essere infinito, ma deve essere un infinito numerabile perchè abbia misura di Lebesgue uguale a zero.

[thedarkhero]

Cosa si intende per infinito numerabile? Puoi farmi un esempio?

[ViciousGoblin]

"Camillo":Il numero di punti di discontinuità può anche essere infinito, ma deve essere un infinito numerabile perchè abbia misura di Lebesgue uguale a zero.

Ehm no. Un insieme di misura nulla puo' anche essere piu' che numerabile.
Per esempio l'inseme di Cantor ternario e' un insieme chiuso $C$ non numerabile ma di misura nulla - il fatto che sia chiuso
permette di dire che la funzione che vale $0$ su $C$ e $1$ altrove, e' continua fuori da $C$ quindi e' continua quasi ovunque
(di conseguenza e' Riemann-integrabile)

[thedarkhero]

Continua a non essermi chiaro...nel caso delle funzioni $f:RR->RR$ quali sono le funzioni con insieme dei punti di discontinuità di misura nulla?

[Camillo]

Lascio la risposta definitiva a Vicious Goblin

[gugo82]

"thedarkhero":Continua a non essermi chiaro...nel caso delle funzioni $f:RR->RR$ quali sono le funzioni con insieme dei punti di discontinuità di misura nulla?

Ad esempio le funzioni monotone hanno un insieme di discontinuità al più numerabile, quindi di misura nulla secondo Lebesgue.

Ne consegue che le funzioni che si scrivono come differenza di funzioni crescenti, dette funzioni a variazione limitata, hanno insieme di discontinuità di misura nulla secondo Lebesgue.


@VG: Da quanto tempo!

[ViciousGoblin]

"thedarkhero":Continua a non essermi chiaro...nel caso delle funzioni $f:RR->RR$ quali sono le funzioni con insieme dei punti di discontinuità di misura nulla?

Te ne ho fornito un esempio nel messaggio precedente. La questione comunque non e' proprio "elementare". Cosa sai sulla misura di Lebesgue? Hai visto degli esempi di insiemi di misura nulla? In che ambito hai incontrato l'affermazione del primo messaggio ?