Misura H. H sta per Hausdorff?
Sul libro di Marcellini-Sbordone-Fusco, proprio alla fine (pag.659), si introduce sulle sottovarietà \(k\) dimensionali di \(\mathbb{R}^n\) una misura denotata con \(H\). Per esempio, se \(L \colon \mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n\) è lineare ingettiva allora
\[H^k(L(C))=\sqrt{\det(L^TL)}m_k(C), \quad \forall C \subset \mathbb{R}^k\ \text{misurabile}.\]
Perché questa \(H\)? Si tratta forse della stessa misura di Hausdorff di cui parla Wikipedia?
\[H^k(L(C))=\sqrt{\det(L^TL)}m_k(C), \quad \forall C \subset \mathbb{R}^k\ \text{misurabile}.\]
Perché questa \(H\)? Si tratta forse della stessa misura di Hausdorff di cui parla Wikipedia?
Risposte
Credo di sì, anche se l'uguaglianza andrebbe verificata.
Sì, si tratta della misura di Hausdorff \(k\) dimensionale.
Benissimo, grazie mille ragazzi.
Scusate ragazzi, visto che ci siamo: stavo leggiucchiando Hebey, Sobolev spaces on Riemannian manifolds, e vedo che lui scrive (pag.1)
mentre invece Marcellini-Sbordone-Fusco fanno questa costruzione (la riscrivo a parole mie perché le loro notazioni sono bislacche):
se \(\varphi \colon U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N\) (\(n\le N\)) è una parametrizzazione, l'elemento di \(n\)-volume in \(\varphi(x)\) è
\[\sqrt{\det(D\varphi(x)^TD\varphi(x))}\, d x\]
dove \(D\varphi(x)\) è la matrice Jacobiana e \(dx=d^{n}x\) è l'elemento di volume di \(\mathbb{R}^n\).
Stanno dicendo la stessa cosa?
Penso di si, ma se mi date qualche informazione mi fate contento. Purtroppo di geometria Riemanniana non so quasi nulla a causa di alcuni problemi coi corsi di geometria di qui.
[...]the Riemannian volume element is given in any chart by
\[dv(g)=\sqrt{\det(g_{ij})}\, dx, \]
where the \(g_{ij}\)'s are the components of \(g\) in the chart and \(dx\) is the Lebesgue's volume element of \(\mathbb{R}^n\), \(n=\text{dim}\ M\).
mentre invece Marcellini-Sbordone-Fusco fanno questa costruzione (la riscrivo a parole mie perché le loro notazioni sono bislacche):
se \(\varphi \colon U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N\) (\(n\le N\)) è una parametrizzazione, l'elemento di \(n\)-volume in \(\varphi(x)\) è
\[\sqrt{\det(D\varphi(x)^TD\varphi(x))}\, d x\]
dove \(D\varphi(x)\) è la matrice Jacobiana e \(dx=d^{n}x\) è l'elemento di volume di \(\mathbb{R}^n\).
Stanno dicendo la stessa cosa?
Penso di si, ma se mi date qualche informazione mi fate contento. Purtroppo di geometria Riemanniana non so quasi nulla a causa di alcuni problemi coi corsi di geometria di qui.
Scritte così non sono esattamente la stessa cosa.
Nel secondo caso, se \(\varphi\) è la parametrizzazione di una varietà immersa \(n\)-dimensionale, quello da te descritto è l'elemento d'area (o di volume, se preferisci) sulla varietà; puoi fare la verifica nel caso \(\varphi: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) delle usuali superfici parametriche. In questo caso il fatto che l'elemento d'area non sia costante dipende dal fatto che stai usando una parametrizzazione; se tu potessi "appiattire" la varietà, l'elemento d'area sarebbe costante.
Nel caso Riemanniano, invece, hai proprio un elemento di volume che può variare punto per punto.
Comunque, un geometra saprà senz'altro spiegare meglio analogie e differenze!
Nel secondo caso, se \(\varphi\) è la parametrizzazione di una varietà immersa \(n\)-dimensionale, quello da te descritto è l'elemento d'area (o di volume, se preferisci) sulla varietà; puoi fare la verifica nel caso \(\varphi: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) delle usuali superfici parametriche. In questo caso il fatto che l'elemento d'area non sia costante dipende dal fatto che stai usando una parametrizzazione; se tu potessi "appiattire" la varietà, l'elemento d'area sarebbe costante.
Nel caso Riemanniano, invece, hai proprio un elemento di volume che può variare punto per punto.
Comunque, un geometra saprà senz'altro spiegare meglio analogie e differenze!
"Rigel":
Scritte così non sono esattamente la stessa cosa.
Nel secondo caso, se \(\varphi\) è la parametrizzazione di una varietà immersa \(n\)-dimensionale, quello da te descritto è l'elemento d'area (o di volume, se preferisci) sulla varietà; puoi fare la verifica nel caso \(\varphi: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) delle usuali superfici parametriche. In questo caso il fatto che l'elemento d'area non sia costante dipende dal fatto che stai usando una parametrizzazione; se tu potessi "appiattire" la varietà, l'elemento d'area sarebbe costante.
Ho intuito il concetto, si. Per esempio una sottovarietà lineare, parametrizzata nel modo ovvio, ha l'elemento di area costante. Pure la sfera, parametrizzata in coordinate polari, ha l'elemento di area costante. (EDIT: falso, vedi sotto). Immagino che questo dipenda dalla parametrizzazione: se, localmente, questa è una isometria (rispetto alla distanza di \(\mathbb{R}^n\) in partenza e alla distanza geodetica in arrivo), allora l'elemento di area è costante. Vabbé, comunque queste sono proprio cose da geometri!
Invece a te vorrei chiedere una piccola informazione: ma se eliminassi l'ipotesi di regolarità \(C^1\) della parametrizzazione, sostituendola con la sola Lipschitzianità, avrei dei problemi con la prima definizione?
Nel caso Riemanniano, invece, hai proprio un elemento di volume che può variare punto per punto.
Comunque, un geometra saprà senz'altro spiegare meglio analogie e differenze!
E si, questo bisogna proprio chiederlo a un geometra. Ma forse per il momento posso riuscire a farne a meno (speriamo!
).
"dissonance":
Invece a te vorrei chiedere una piccola informazione: ma se eliminassi l'ipotesi di regolarità \(C^1\) della parametrizzazione, sostituendola con la sola Lipschitzianità, avrei dei problemi con la prima definizione?
No; la teoria geometrica della misura funziona "naturalmente" bene con le varietà Lipschitziane.
Puoi vedere, ad esempio, il libro di Evans e Gariepy, "Measure Theory and Fine Properties of Functions".
Ok, perfetto. Posso andare avanti. Grazie Rigel!
Solo per correggere una sciocchezza che ho scritto qualche giorno fa:
Falso: infatti se
\[\begin{cases} x=r \cos\theta\sin \varphi \\ y=r \sin \theta \sin \varphi\\ z = r \cos \varphi \end{cases}\]
allora
\[dS=r^2\sin \varphi d\theta d\varphi.\]
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... oordinates
Non si sa mai qualcuno passa, legge e si confonde.
"dissonance":
Pure la sfera, parametrizzata in coordinate polari, ha l'elemento di area costante.
Falso: infatti se
\[\begin{cases} x=r \cos\theta\sin \varphi \\ y=r \sin \theta \sin \varphi\\ z = r \cos \varphi \end{cases}\]
allora
\[dS=r^2\sin \varphi d\theta d\varphi.\]
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_ ... oordinates
Non si sa mai qualcuno passa, legge e si confonde.
Beh, è una questione di parametrizzazione!
Quello è solo il fattore di proporzionalità fra l'elemento d'area nello spazio dei parametri e l'elemento d'area sulla superficie.
Nel caso Riemanniano, invece, stai proprio modificando la misura locale dell'area: il quadratino \(dx\times dy\) sulla superficie (indipendentemente dalle coordinate) non ha necessariamente misura \(dx\cdot dy\).
Quello è solo il fattore di proporzionalità fra l'elemento d'area nello spazio dei parametri e l'elemento d'area sulla superficie.
Nel caso Riemanniano, invece, stai proprio modificando la misura locale dell'area: il quadratino \(dx\times dy\) sulla superficie (indipendentemente dalle coordinate) non ha necessariamente misura \(dx\cdot dy\).
Hmm aspetta forse ho capito. Abbiamo capito che l'elemento di area in una varietà Riemanniana di dimensione 2 è questo qui:
\[dA=\sqrt{\det(g_{ij})}dxdy\]
(prima avevo scritto \(dv(g)\)), dove \((x, y)\) è un sistema di coordinate locali. Ora tu dici: non è detto che si riesca a trovare un sistema di coordinate tale che \(g_{ij}\) è costante su tutta la carta. Se la varietà è \(\mathbb{R}^2\), si riesce a trovare. A quanto intuisco dai tuoi post, anche per ogni sottovarietà bidimensionale di \(\mathbb{R}^n\) si riesce a trovare. Ma in generale no.
Ci ho preso, stavolta?
\[dA=\sqrt{\det(g_{ij})}dxdy\]
(prima avevo scritto \(dv(g)\)), dove \((x, y)\) è un sistema di coordinate locali. Ora tu dici: non è detto che si riesca a trovare un sistema di coordinate tale che \(g_{ij}\) è costante su tutta la carta. Se la varietà è \(\mathbb{R}^2\), si riesce a trovare. A quanto intuisco dai tuoi post, anche per ogni sottovarietà bidimensionale di \(\mathbb{R}^n\) si riesce a trovare. Ma in generale no.
Ci ho preso, stavolta?
Eh eh, non prendere per oro colato le mie elucubrazioni geometriche!
Comunque sì, grosso modo il senso è quello.
Comunque sì, grosso modo il senso è quello.
Invece è uno spunto di riflessione interessante perché getta un po' di luce sul significato di "varietà Riemanniana". Mai pensato di darti alla geometria? Grazie.
Grazie.
"dissonance":
Mai pensato di darti alla geometria?
Avevo pensato all'ippica, ma a differenza di FP non sono molto portato
"dissonance":
Scusate ragazzi, visto che ci siamo: stavo leggiucchiando Hebey, Sobolev spaces on Riemannian manifolds, e vedo che lui scrive (pag.1)
[...]the Riemannian volume element is given in any chart by
\[dv(g)=\sqrt{\det(g_{ij})}\, dx, \]
where the \(g_{ij}\)'s are the components of \(g\) in the chart and \(dx\) is the Lebesgue's volume element of \(\mathbb{R}^n\), \(n=\text{dim}\ M\).
mentre invece Marcellini-Sbordone-Fusco fanno questa costruzione (la riscrivo a parole mie perché le loro notazioni sono bislacche):
se \(\varphi \colon U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^N\) (\(n\le N\)) è una parametrizzazione, l'elemento di \(n\)-volume in \(\varphi(x)\) è
\[\sqrt{\det(D\varphi(x)^TD\varphi(x))}\, d x\]
dove \(D\varphi(x)\) è la matrice Jacobiana e \(dx=d^{n}x\) è l'elemento di volume di \(\mathbb{R}^n\).
Stanno dicendo la stessa cosa?
Riesumo: la risposta (nel caso di sottovarietà di \(\mathbb{R}^N\)) è banalmente affermativa, dal momento che una sottovarietà di \(\mathbb{R}^N\) eredita in modo naturale una struttura di varietà Riemanniana il cui tensore metrico in \(\varphi(x)\) ha per matrice proprio \(D\varphi(x)^TD\varphi(x)\).
In generale l'assegnazione di una misura su una varietà differenziabile passa dal concetto di densità (qui una definizione comprensibile): le densità sono oggetti le cui rappresentazioni indiciali si trasformano per cambiamento di coordinate in modo compatibile con la formula del cambiamento di variabile negli integrali multipli. Su ogni varietà Riemanniana è definita una densità Riemanniana di volume, rappresentata in coordinate dalla funzione \(\sqrt{\det(g_{ij})}\). Ad ogni densità scalare non negativa corrisponde un'unica misura.
In questo modo si può formalizzare il concetto intuitivo che diceva Rigel di "una misura il cui elemento di volume può cambiare punto per punto". La questione è spiegata per sommi capi (ma molto chiaramente) sul libro di Folland Real Analysis, 2a edizione, pagg. 361-363.
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