Misura esterna di Lebesque
Buongiorno! Gentilmente, potreste spiegarmi in modo semplice, ma sopratutto concreto, la seguente definizione?
"Misura esterna di Lebesque"
Definiamo $m^* : P(RR)$$rarr$$[o, +infty)$ così:
$AA$ $A in P(RR)$ $m^*$$=$ $Inf{\sum_{n=1}^infty l(I_n) : A sube uuu_{n in NN} I_n}$. Dove $I_n$ è un intervallo aperto $AA n in NN$.
Detto a parole $m^*$ è il limite inferiore delle sommatorie numerabili di misure di intervalli tali che la loro unione copra l'insieme da misurare.
Non capisco cosa voglia dire concretamente! Grazie anticipatamente!
"Misura esterna di Lebesque"
Definiamo $m^* : P(RR)$$rarr$$[o, +infty)$ così:
$AA$ $A in P(RR)$ $m^*$$=$ $Inf{\sum_{n=1}^infty l(I_n) : A sube uuu_{n in NN} I_n}$. Dove $I_n$ è un intervallo aperto $AA n in NN$.
Detto a parole $m^*$ è il limite inferiore delle sommatorie numerabili di misure di intervalli tali che la loro unione copra l'insieme da misurare.
Non capisco cosa voglia dire concretamente! Grazie anticipatamente!
Risposte
L'argomento è abbastanza astratto e anche io avevo (ed ho) qualche difficoltà nel capirlo a fondo.Il problema ,come diceva il mio prof, è che servirebbe un corso a parte solo sul concetto di misura(che non avrebbe molta utilità ad ingegneria)...In ogni caso ho capito cos'è la misura esterna con il seguente semplice esempio:
Considera un qualsiasi insieme o sottoinsieme E misurabile.Questo sottoinsieme può essere approssimato (in generale) mediante pluriintervalli sia dall'esterno che dall'interno e ovviamente esistono infiniti pluriintervalli che lo approssimano.Il più piccolo plurintervallo che approssima l'insieme DALL'ESTERNO prende il nome di misura esterna.(Immagina un ellisse circoscritto da un rettangolo)
E si dice misurabile secondo Lebesgue se comunque scegli un intervallo I si ha: $m(I)=m star(I nn E)+m star(I-E)$
Perchè è importante la misura esterna?
Perchè quando E è misurabile si pone $m(E)=m star(E)$
E' evidente che con questo nuovo concetto di misura risultano misurabile insiemi che secondo Peano-Jordan non erano misurabili come ad esempio l'insieme $A= [0,1] nn Q$.Questo insieme risulta misurabile secondo Lebesgue perchè immagina di prendere intorno ad ogni punto (razionale) contenuto in A intervallini di ampiezza sempre più piccola che ad esempio decrescono come una potenza di 2. Il generico intervallino sarà $[x_k - epsilon/(2^k);x_k+epsilon/(2^k)]$ con $k->+oo$
La misura di ogni intervallino è $1/(2^k)$ e pertanto la misura totale sarà la somma di ogni misura con k variabile da $0 a +oo$.
Ha senso quindi considerare la serie, che corrisponde ad una serie geometrica di ragione $1/2$.Siccome le serie geometriche convergono si avrà un numero moltiplicato per epsilon che per $epsilon -> 0 $ fa 0. Possiamo dunque dire che A è misurabile secondo Lebesgue e la sua misura vale 0(che corrisponde alla misura esterna!).
Anche Q risulta misurabile secondo Lebesgue e la sua misura è 0.
Spero di aver chiarito un po' di dubbi
Considera un qualsiasi insieme o sottoinsieme E misurabile.Questo sottoinsieme può essere approssimato (in generale) mediante pluriintervalli sia dall'esterno che dall'interno e ovviamente esistono infiniti pluriintervalli che lo approssimano.Il più piccolo plurintervallo che approssima l'insieme DALL'ESTERNO prende il nome di misura esterna.(Immagina un ellisse circoscritto da un rettangolo)
E si dice misurabile secondo Lebesgue se comunque scegli un intervallo I si ha: $m(I)=m star(I nn E)+m star(I-E)$
Perchè è importante la misura esterna?
Perchè quando E è misurabile si pone $m(E)=m star(E)$
E' evidente che con questo nuovo concetto di misura risultano misurabile insiemi che secondo Peano-Jordan non erano misurabili come ad esempio l'insieme $A= [0,1] nn Q$.Questo insieme risulta misurabile secondo Lebesgue perchè immagina di prendere intorno ad ogni punto (razionale) contenuto in A intervallini di ampiezza sempre più piccola che ad esempio decrescono come una potenza di 2. Il generico intervallino sarà $[x_k - epsilon/(2^k);x_k+epsilon/(2^k)]$ con $k->+oo$
La misura di ogni intervallino è $1/(2^k)$ e pertanto la misura totale sarà la somma di ogni misura con k variabile da $0 a +oo$.
Ha senso quindi considerare la serie, che corrisponde ad una serie geometrica di ragione $1/2$.Siccome le serie geometriche convergono si avrà un numero moltiplicato per epsilon che per $epsilon -> 0 $ fa 0. Possiamo dunque dire che A è misurabile secondo Lebesgue e la sua misura vale 0(che corrisponde alla misura esterna!).
Anche Q risulta misurabile secondo Lebesgue e la sua misura è 0.
Spero di aver chiarito un po' di dubbi
Wow! Per la miseria! 6 stato chiarissimo e gentilissimo!!!! Ora ho capito il concetto a pieno. Hai tirato in ballo anche l'esempio $A=QQ nn [0,1]$ che non avevo compreso! Grazie tanto tanto tanto per l'aiuto! 6 un grande!
"Lord Rubik":
Wow! Per la miseria! 6 stato chiarissimo e gentilissimo!!!! Ora ho capito il concetto a pieno. Hai tirato in ballo anche l'esempio $A=QQ nn [0,1]$ che non avevo compreso! Grazie tanto tanto tanto per l'aiuto! 6 un grande!
Prego! Mi fa piacere che tu abbia capito!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo