Misura di un dominio
Devo effettuare la misura del seguente dominio:
$D={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2>=1, x<=0, x^2+(y+1)^2<=1 }$
Questo è il dominio:
"http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3E%3D1+%2C+x%3C%3D0+%2C+x^2%2B%28y%2B1%29^2%3C%3D1"
La misura del dominio la ottengo risolvendo l'integrale doppio :
$1/2\int int xdy - ydx$
Utilizzando le coordinate polari, vedo che $\Theta in [5/4pi,3/2pi]$ ma il problema è il solito $rho$ :
ho che $rho^2>=1, rho^2+2rhosen(theta)+1<=1$ ,mettendo in evidenza ottengo che $rho in [-1,-2sen(theta)]$
E' corretto dire che $ rho in [-1,-2sen(theta)]$ ?
Grazie in anticipo a tutti.
$D={(x,y) in R^2 : x^2 + y^2>=1, x<=0, x^2+(y+1)^2<=1 }$
Questo è il dominio:
"http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3E%3D1+%2C+x%3C%3D0+%2C+x^2%2B%28y%2B1%29^2%3C%3D1"
La misura del dominio la ottengo risolvendo l'integrale doppio :
$1/2\int int xdy - ydx$
Utilizzando le coordinate polari, vedo che $\Theta in [5/4pi,3/2pi]$ ma il problema è il solito $rho$ :
ho che $rho^2>=1, rho^2+2rhosen(theta)+1<=1$ ,mettendo in evidenza ottengo che $rho in [-1,-2sen(theta)]$
E' corretto dire che $ rho in [-1,-2sen(theta)]$ ?
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
$\theta in [7/6\pi,11/6\pi] ^^ rho in [1,-2sentheta]$
oppure:
$\theta in [7/6\pi,3/2\pi] ^^ rho in [1,-2sentheta]$ moltiplicando l'integrale per $2$.
Inoltre, la formula che hai scritto, $1/2\int int xdy - ydx$, non è un integrale doppio. Piuttosto, è un integrale curvilineo.
oppure:
$\theta in [7/6\pi,3/2\pi] ^^ rho in [1,-2sentheta]$ moltiplicando l'integrale per $2$.
Inoltre, la formula che hai scritto, $1/2\int int xdy - ydx$, non è un integrale doppio. Piuttosto, è un integrale curvilineo.
Come hai fatto a calcolare l'angolo?e perchè $rho$ varia tra $1$ e $-2sen(theta)$ e non tra $-1$ e $-2sen(theta)$?
Basta risolvere il sistema che comprende le $2$ equazioni delle circonferenze. Per i punti d'intersezione $y=-1/2$. Per quanto riguarda le limitazioni su $\rho$, ti ricordo che è sempre positivo e che puoi ottenere la limitazione superiore risolvendo la disequazione relativa alla seconda circonferenza che tu stesso hai scritto.
Hai perfettamente ragione ho avuto una svista :s grazie per il chiarimento sul calcolo dell'angolo 
Ancora una cosa,nella misura del dominio non devo considerare il det jacobiano giusto?
cioè in pratica dovrei avere $1/2 int int rho(cos(theta)-sen(theta)) d(theta) drho$ ?
cioè in pratica dovrei avere $1/2 int int rho(cos(theta)-sen(theta)) d(theta) drho$ ?
Ma perché usi il simbolo di integrale doppio? Stai attento: come dice speculor,
\[\int xdy-ydx\]
è un integrale curvilineo, di dimensione \(1\), non è assolutamente un integrale doppio.
\[\int xdy-ydx\]
è un integrale curvilineo, di dimensione \(1\), non è assolutamente un integrale doppio.
E come lo risolvo se io ho due variabili di integrazione $rho$ e $theta$ ?
@Slevin89
Non ho ancora capito se devi calcolare la misura mediante un integrale doppio oppure, utilizzando la formula di Gauss-Green, mediante un integrale curvilineo lungo la frontiera dell'insieme. Se non ti viene esplicitamente richiesto, io procederei mediante l'integrale doppio, come al solito. Tra l'altro, delle diverse formule di Gauss-Green che avresti potuto utilizzare, mi sembra che tu abbia scelto la meno conveniente.
@dissonance
Ti ringrazio per la conferma. Colgo l'occasione per salutarTi, nella speranza che Tu abbia trascorso una piacevole estate.
Non ho ancora capito se devi calcolare la misura mediante un integrale doppio oppure, utilizzando la formula di Gauss-Green, mediante un integrale curvilineo lungo la frontiera dell'insieme. Se non ti viene esplicitamente richiesto, io procederei mediante l'integrale doppio, come al solito. Tra l'altro, delle diverse formule di Gauss-Green che avresti potuto utilizzare, mi sembra che tu abbia scelto la meno conveniente.
@dissonance
Ti ringrazio per la conferma. Colgo l'occasione per salutarTi, nella speranza che Tu abbia trascorso una piacevole estate.
Avevo letto male la formula..si voglio utilizzare la formula di Gauss-Green,come si svolge quindi in questo caso?
Allora puoi utilizzare indifferentemente le seguenti formule:
$intxdy=-intydx=1/2intxdy-ydx$
Si tratta di un integrale curvilineo. Se non sai come svolgerli, dovresti studiare un po' di teoria. In ogni modo, mi sembra una risoluzione svantaggiosa in questo esercizio. Sei costretto?
$intxdy=-intydx=1/2intxdy-ydx$
Si tratta di un integrale curvilineo. Se non sai come svolgerli, dovresti studiare un po' di teoria. In ogni modo, mi sembra una risoluzione svantaggiosa in questo esercizio. Sei costretto?
No nn sono costretto..come posso procedere in modo alternativo?
Devi svolgere il seguente integrale doppio, prima integrando in $\rho$ e poi in $\theta$:
$\int_{7/6\pi}^{11/6\pi}\int_{1}^{-2sin\theta}\rhod\rhod\theta=2\int_{7/6\pi}^{3/2\pi}\int_{1}^{-2sin\theta}\rhod\rhod\theta$
$\int_{7/6\pi}^{11/6\pi}\int_{1}^{-2sin\theta}\rhod\rhod\theta=2\int_{7/6\pi}^{3/2\pi}\int_{1}^{-2sin\theta}\rhod\rhod\theta$
ok grazie
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