Misura di $QQ$

[squalllionheart]

Raga confermatemi questa cosa,
Se $[0,1]$ intersezione $QQ$ è un insieme misurabile di misura nulla, perchè è unione infinita di insiemi di misura nulla. Allora anche tutto $QQ$ ha misura nulla?

[dissonance]

Sì: infatti è unione numerabile di $[n, n+1]nnQQ$, che come dicevi sono insiemi di misura nulla.

[Chevtchenko]

D'altra parte ogni sottoinsieme numerabile di $RR$ ha misura nulla...

[gugo82]

"Chevtchenko":D'altra parte ogni sottoinsieme numerabile di $RR$ ha misura nulla...

Infatti, assegnato $E=\{ x_n\}_(n\in NN)$ e fissato $\epsilon >0$, puoi racchiudere $E$ nell'unione della famiglia di intervalli aperti $I_n=]x_n-epsilon/2*1/2^(n+1),x_n+epsilon/2*1/2^(n+1)[$, cosicché $m_e(E)<=m(\cup_n I_n)$ (monotonia della misura esterna e misurabilità degli aperti); ma $m(I_n)=epsilon/2*1/2^n$, quindi $m(\cup_n I_n)<=epsilon/2 *\sum_(n=0)^(+oo) 1/2^n=\epsilon/2*2=epsilon$ (subadditività numerabile); pertanto $m_e(E)<=\epsilon$ per ogni $epsilon >0$, quindi $m_e(E)=0$ ed infine $m(E)=0$.

[Chevtchenko]

In modo ancora più semplice, se $S \subset RR$ è numerabile, allora dettane $(x_n)$ un'enumerazione si ha $\mu S = \sum \mu {x_n} = \sum \mu [x_n, x_n] = 0$...

[gugo82]

E sì, additività numerabile...

Credo che l'altra sia più istruttiva quando si voglia mettere in evidenza la differenza tra la misura di Peano-Jordan e quella di Lebesgue.

[squalllionheart]

Le conferme e le negazioni sono le migliori risposte.
Grazie $n$-volte.
Vi amo tanto