Misura di Peano Jordan della chiusura e dell'interno
Mi stavo concentrando su una possibile "catena" di disuguaglianze per la misura di Peano Jordan.
Sono riuscito facilmente a provare che la misura esterna (secondo PJ) di un qualsiasi insieme limitato \(\displaystyle E \) coincide con quella della sua chiusura $\bar{E}$, ossia: $m_e(E)=m_e(\bar{E})$ e analogamente la misura interna di $E$ coincide con quella del suo interno: $m_i(E)=m_i(E^°)$. Da cui segue che $E$ è PJ-misurabile se e solo se $m_i(E^°)=m_e(\bar{E})$ cioè se e solo se interno e chiusura di $E$ sono PJ-misurabili e le loro misure coincidono.
Fino a qui tutto ok.
Mi chiedevo quindi se sussiste anche una relazione tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$.
Se prendo un insieme PJ-misurabile anche queste misure appunto coincidono.
Prendendo $E=Q\cap [0;1]$, trovo che $\bar{E}=[0;1]$ mentre $E^°=\emptyset$ per cui $m_i(\bar{E})=1 > 0=m_e(E^°)$, pertanto penso che in generale possa valere $m_e(E^°) \leq m_i(\bar{E})$, ma non riesco a provarla. Anzi mi viene il serio dubbio che sia falsa (e quindi che non ci sia alcuna relazione generale tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$) in quanto se $E$ è un compatto risulta invece: $m_i(\bar{E})=m_i(E)=m_i(E^°)\leq m_e(E^°)$ non riuscendo però a trovare un compatto per il quale valga la disuguaglianza stretta.
Sono riuscito facilmente a provare che la misura esterna (secondo PJ) di un qualsiasi insieme limitato \(\displaystyle E \) coincide con quella della sua chiusura $\bar{E}$, ossia: $m_e(E)=m_e(\bar{E})$ e analogamente la misura interna di $E$ coincide con quella del suo interno: $m_i(E)=m_i(E^°)$. Da cui segue che $E$ è PJ-misurabile se e solo se $m_i(E^°)=m_e(\bar{E})$ cioè se e solo se interno e chiusura di $E$ sono PJ-misurabili e le loro misure coincidono.
Fino a qui tutto ok.
Mi chiedevo quindi se sussiste anche una relazione tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$.
Se prendo un insieme PJ-misurabile anche queste misure appunto coincidono.
Prendendo $E=Q\cap [0;1]$, trovo che $\bar{E}=[0;1]$ mentre $E^°=\emptyset$ per cui $m_i(\bar{E})=1 > 0=m_e(E^°)$, pertanto penso che in generale possa valere $m_e(E^°) \leq m_i(\bar{E})$, ma non riesco a provarla. Anzi mi viene il serio dubbio che sia falsa (e quindi che non ci sia alcuna relazione generale tra $m_i(\bar{E})$ e $m_e(E^°)$) in quanto se $E$ è un compatto risulta invece: $m_i(\bar{E})=m_i(E)=m_i(E^°)\leq m_e(E^°)$ non riuscendo però a trovare un compatto per il quale valga la disuguaglianza stretta.
Risposte
Ripropongo questo mio vecchio thread che è un po' un pallino per me.
Penso sempre più che non ci sia nessuna relazione tra le due misure e cioè che anche $m_e(E^o) \leq m_i (\bar{E})$ sia falsa.
Nel tentativo di cercare un esempio che la faccia saltare, mi sono avvicinato trovandone uno con la disuguaglianza opposta, solo che non è stretta, e quindi le due misure potrebbero essere uguali.
L'esempio è il classico aperto non misurabile secondo PJ e cioè l'insieme $A_\epsilon = \bigcup_{n=1}^\infty (q_n - \epsilon /2^n ; q_n + \epsilon /2^n)$ dove i $q_n$ sono i razionali compresi tra 0 e 1 ed $0<\epsilon<1/2$.
Per tale aperto, come ho verificato senza problemi, $m_e (A_\epsilon ) \geq 1$ mentre $m_i (A_\epsilon) \leq 2\epsilon$ e pertanto non è PJ misurabile. Inoltre ha il vantaggio di non avere l'interno vuoto.
Si ha: $m_e(E^o) = m_e(A_\epsilon) = m_e(\bar{A_\epsilon}) \geq m_i (\bar{A_\epsilon}) = m_i (\bar{E})$ ma appunto non posso essere sicuro che la disuguaglianza sia stretta.
Se qualcuno vuole spenderci un po' di tempo...
Grazie!
Penso sempre più che non ci sia nessuna relazione tra le due misure e cioè che anche $m_e(E^o) \leq m_i (\bar{E})$ sia falsa.
Nel tentativo di cercare un esempio che la faccia saltare, mi sono avvicinato trovandone uno con la disuguaglianza opposta, solo che non è stretta, e quindi le due misure potrebbero essere uguali.
L'esempio è il classico aperto non misurabile secondo PJ e cioè l'insieme $A_\epsilon = \bigcup_{n=1}^\infty (q_n - \epsilon /2^n ; q_n + \epsilon /2^n)$ dove i $q_n$ sono i razionali compresi tra 0 e 1 ed $0<\epsilon<1/2$.
Per tale aperto, come ho verificato senza problemi, $m_e (A_\epsilon ) \geq 1$ mentre $m_i (A_\epsilon) \leq 2\epsilon$ e pertanto non è PJ misurabile. Inoltre ha il vantaggio di non avere l'interno vuoto.
Si ha: $m_e(E^o) = m_e(A_\epsilon) = m_e(\bar{A_\epsilon}) \geq m_i (\bar{A_\epsilon}) = m_i (\bar{E})$ ma appunto non posso essere sicuro che la disuguaglianza sia stretta.
Se qualcuno vuole spenderci un po' di tempo...
Grazie!
in pratica, per confutare la disuguaglianza, basta trovare un aperto la cui chiusura non sia PJ misurabile e come aperto potrebbe appunto andare bene $A_\epsilon$ solo che non sono per niente sicuro che la sua chiusura sia $\bigcup_{n=1}^\infty [q_n - \epsilon /2^n ; q_n + \epsilon /2^n]$. Se fosse così sarebbe tutto ok.
Secondo me c'è un errore da qualche parte, ti dico la verità. Ricordami la definizione di "misura interna" e di "misura esterna" secondo Peano-Jordan, per favore.
"dissonance":
Secondo me c'è un errore da qualche parte, ti dico la verità. Ricordami la definizione di "misura interna" e di "misura esterna" secondo Peano-Jordan, per favore.
Si, la misura interna è l'estremo superiore delle misure (elementari) dei plurintervalli contenuti nell'insieme in questione; mentre quella esterna "dualmente" è l'estremo inferiore delle misure dei plurintervalli contenenti l'insieme. Come scritto in vari testi (la verifica è facile), la misura interna di un insieme coincide con quella dell'interno dell'insieme stesso; mentre la misura esterna coincide con quella della chiusura. In pratica con la misura di PJ si approssima dall'interno con aperti e dall'esterno con compatti, ragione per cui questa misura è meno "raffinata" di quella di Lebesgue che invece approssima dall'interno con compatti e dall'esterno con aperti.
Ora, tornando a PJ, mi chiedevo se esiste una relazione tra $m_i (\overline{E})$ e $m_e (E^°)$. Prendendo l'insieme dei razionali tra 0 e 1, come scrivo all'inizio, vedo che potrebbe forse valere $m_e (E^°) \leq m_i (\overline{E})$.
Siccome non riesco a dimostrarla, penso sia falsa e come controesempio potrebbero andare bene gli aperti $A_\epsilon$ di cui scrivo in seguito e che non sono PJ misurabili (fatto scritto nel testo di Giusti), ma per affermare che è effettivamente il controesempio che cerco dovrei essere in grado di determinarne la chiusura.
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