Misura di Peano- jordan
Salve! il prof non si è soffermato molto su questo argomento e nel libro di testo adottato non ne parla, quindi lo chiedo a voi.
Un sottoinsieme $A sub RR^2$ si dice misurabile secondo Peano jordan se la sua funzione caratteristica $1_A (x,y):
$1_A (x,y)={(1, ", se " (x,y) in A),(0, ", se " (x,y) notin A):}$
(scusate per la & ma non so sistemarla...)
appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann.
L'area o misura è data da
$|A| = int int_A 1_A(x,y) dx dy$
Esatto?
Un sottoinsieme $A sub RR^2$ si dice misurabile secondo Peano jordan se la sua funzione caratteristica $1_A (x,y):
$1_A (x,y)={(1, ", se " (x,y) in A),(0, ", se " (x,y) notin A):}$
(scusate per la & ma non so sistemarla...)
appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann.
L'area o misura è data da
$|A| = int int_A 1_A(x,y) dx dy$
Esatto?
Risposte
Esatto.
Quindi se $(x,y) notin A$ comporta che si ha misura nulla...
Altra domanda...
Il motivo perchè le funzioni siano limitate è dovuto al fatto di essere integrabili secondo Riemann, giusto?
Altra domanda...
Il motivo perchè le funzioni siano limitate è dovuto al fatto di essere integrabili secondo Riemann, giusto?
"qwerty90":
Quindi se $(x,y) notin A$ comporta che si ha misura nulla...
Eh?
"qwerty90":
Altra domanda...
Il motivo perchè le funzioni siano limitate è dovuto al fatto di essere integrabili secondo Riemann, giusto?
Doppio eh?
Insomma, spiegati meglio qwerty90.
1)
Se $(x,y)notinA$ allora $int int 0 dx dy = 0$ e quindi si ha misura di Peano jordan nulla?
2)
"....appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann."
Perchè limitate? Perchè devono soddisfare l'ipotesi di integrabilità secondo Riemann?
Se $(x,y)notinA$ allora $int int 0 dx dy = 0$ e quindi si ha misura di Peano jordan nulla?
2)
"....appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann."
Perchè limitate? Perchè devono soddisfare l'ipotesi di integrabilità secondo Riemann?
"qwerty90":
1)
Se $(x,y)notinA$ allora $int int 0 dx dy = 0$ e quindi si ha misura di Peano jordan nulla?
Ma che vuole dire?
Come fai a passare dal fatto che un solo punto non appartenga ad [tex]$A$[/tex] al fatto che [tex]$A$[/tex] ha misura nulla?
Ad esempio, se [tex]$A=[-1,1]\times [-1,1]$[/tex] è evidente che [tex]$(x,y)\notin A$[/tex] non appena [tex]$|x|>1$[/tex] oppure [tex]$|y|>1$[/tex], però [tex]$|A|=4$[/tex].
Se poi vuoi dire che l'insieme vuoto (caratterizzato dalla proprietà [tex]$\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2,\ (x,y)\notin A$[/tex]) ha misura nulla, allora ok.
Inoltre, noto che l'uguaglianza [tex]$|A|=\iint_A 1_A (x,y)\ \text{d} x\text{d} y$[/tex] si dimostra e di solito non è presa come definizione della misura di [tex]$A$[/tex].
"qwerty90":
2)
"....appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann."
Perchè limitate? Perchè devono soddisfare l'ipotesi di integrabilità secondo Riemann?
Perchè l'integrale di Riemann è definito solo per le funzioni limitate.
Se vuoi integrare le funzioni non limitate devi introdurre la nozione di integrale improprio di Riemann, come dovresti sapere da Analisi I.
"gugo82":
[quote="qwerty90"]1)
Se $(x,y)notinA$ allora $int int 0 dx dy = 0$ e quindi si ha misura di Peano jordan nulla?
Ma che vuole dire?
Come fai a passare dal fatto che un solo punto non appartenga ad [tex]$A$[/tex] al fatto che [tex]$A$[/tex] ha misura nulla?
Ad esempio, se [tex]$A=[-1,1]\times [-1,1]$[/tex] è evidente che [tex]$(x,y)\notin A$[/tex] non appena [tex]$|x|>1$[/tex] oppure [tex]$|y|>1$[/tex], però [tex]$|A|=4$[/tex].
Se poi vuoi dire che l'insieme vuoto (caratterizzato dalla proprietà [tex]$\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2,\ (x,y)\notin A$[/tex]) ha misura nulla, allora ok.
Inoltre, noto che l'uguaglianza [tex]$|A|=\iint_A 1_A (x,y)\ \text{d} x\text{d} y$[/tex] si dimostra e di solito non è presa come definizione della misura di [tex]$A$[/tex].
"qwerty90":
2)
"....appartiene alla classe delle funzioni limitate integrabili in A secondo Riemann."
Perchè limitate? Perchè devono soddisfare l'ipotesi di integrabilità secondo Riemann?
Perchè l'integrale di Riemann è definito solo per le funzioni limitate.
Se vuoi integrare le funzioni non limitate devi introdurre la nozione di integrale improprio di Riemann, come dovresti sapere da Analisi I.[/quote]
ok tutto chiaro.Grazie
Riprendo questo topic con una domanda....
Perchè condizione necessaria affinchè un insieme sia misurabile secondo P-J è che sia limitato o vuoto?
Perchè condizione necessaria affinchè un insieme sia misurabile secondo P-J è che sia limitato o vuoto?
up
E' sempre questione di funzioni caratteristiche. Se un insieme non è limitato la funzione caratteristica è non nulla su un insieme non limitato, e quindi non puoi applicarvi l'integrale di Riemann classico, che è definito solo per funzioni limitate su insiemi limitati (quali insiemi dipende dalla definizione di integrale di Riemann che conosci tu).
"dissonance":
E' sempre questione di funzioni caratteristiche. Se un insieme non è limitato la funzione caratteristica è non nulla su un insieme non limitato, e quindi non puoi applicarvi l'integrale di Riemann classico, che è definito solo per funzioni limitate su insiemi limitati (quali insiemi dipende dalla definizione di integrale di Riemann che conosci tu).
Ah capito..certo! Ti ringrazio dissonance!
Avrei un' ultimissima domanda su quest'argomento.
Nel primo post, ho scritto la definizione di insieme misurabile secondo Peano - Jordan , tramite la funzione caratteristica e quindi il concetto di integrabilità secondo Riemann. Quindi l'implicazione:
Integrabilità secondo Riemann $rArr$ misurabilità secondo P-J
Ora io vorrei esprimere il concetto opposto.
Cioè a partire dalla definizione (che non conosco e vorrei sapere) di insieme misurabile secondo Peano - Jordan, arrivare al concetto di integrabilità secondo Riemann.
Sapreste aiutarmi?
up
Propongo una definizione....ditemi se dico una bestialità
Sia $A sub RR^2 $ un insieme.
Dividiamo l'insieme in un numero finito di partizioni, che chiamo $A_i,$ con $i= 1,2,3,4,....n$
L'insieme si dice misurabile secondo P-J se:
1) $uuu_{i=1}^n A_i$
2) $A_i nn A_j !=$ ∅ con $i != j$
E' un oltraggio alla matematica?
Propongo una definizione....ditemi se dico una bestialità
Sia $A sub RR^2 $ un insieme.
Dividiamo l'insieme in un numero finito di partizioni, che chiamo $A_i,$ con $i= 1,2,3,4,....n$
L'insieme si dice misurabile secondo P-J se:
1) $uuu_{i=1}^n A_i$
2) $A_i nn A_j !=$ ∅ con $i != j$
E' un oltraggio alla matematica?
La definizione di insieme misurabile secondo P-J la dovresti trovare su un qualsiasi testo di Analisi II pre-riforma; ad esempio sul Fusco-Marcellini-Sbordone dovrebbe esserci.
Ad ogni modo, detta in maniera rozza, un insieme [tex]$E$[/tex] è misurabile secondo P-J se per ogni numero piccolo [tex]$\varepsilon >0$[/tex] è possibile determinare due plurirettangoli (i.e. insiemi formati unendo un numero finito di rettangoli privi di punti interni in comune) [tex]$P,Q$[/tex] tale che [tex]$P\subseteq E \subseteq Q$[/tex] ed [tex]$m(Q)-m(P)<\varepsilon$[/tex] (qui [tex]$m(\cdot)$[/tex] è la misura dei plurirettangoli, definita come somma delle aree dei rettangoli che formano un dato plurirettangolo); in tal caso gli insiemi:
[tex]$\sigma (E):= \{ m(P),\ \text{$P$ plurirettangolo $\subseteq E$}\}$[/tex] e [tex]$\Sigma (E):= \{ m(Q),\ \text{$Q$ plurirettangolo $\supseteq E$}\}$[/tex]
sono contigui ed il loro unico numero separatore si denota con [tex]$m(E)$[/tex].
In generale, se [tex]$E$[/tex] non è necessariamente misurabile, i due insiemi [tex]$\sigma (E)$[/tex] e [tex]$\Sigma (E)$[/tex] sono solo separati ed il secondo è l'insieme dei maggioranti (nel senso che [tex]$\forall \sigma \in \sigma (E),\ \forall \Sigma \in \Sigma (E)$[/tex] si ha [tex]$\sigma \leq \Sigma$[/tex]); in tal caso esistono finiti i due numeri:
[tex]$m_i (E) :=\sup \sigma (E)$[/tex] e [tex]$m_e(E) := \inf \Sigma (E)$[/tex]
che si chiamano rispettivamente misura interna e misura esterna secondo P-J di [tex]$E$[/tex]; per la stessa definizione si ha [tex]$0\leq m_i(E) \leq m_e(E)$[/tex].
Ne viene che [tex]$E$[/tex] è misurabile secondo P-J se e solo se [tex]$m_i(E)=m_e(E)$[/tex] ed in tal caso risulta [tex]$m(E)=m_i(E)=m_e(E)$[/tex].
Ad ogni modo, detta in maniera rozza, un insieme [tex]$E$[/tex] è misurabile secondo P-J se per ogni numero piccolo [tex]$\varepsilon >0$[/tex] è possibile determinare due plurirettangoli (i.e. insiemi formati unendo un numero finito di rettangoli privi di punti interni in comune) [tex]$P,Q$[/tex] tale che [tex]$P\subseteq E \subseteq Q$[/tex] ed [tex]$m(Q)-m(P)<\varepsilon$[/tex] (qui [tex]$m(\cdot)$[/tex] è la misura dei plurirettangoli, definita come somma delle aree dei rettangoli che formano un dato plurirettangolo); in tal caso gli insiemi:
[tex]$\sigma (E):= \{ m(P),\ \text{$P$ plurirettangolo $\subseteq E$}\}$[/tex] e [tex]$\Sigma (E):= \{ m(Q),\ \text{$Q$ plurirettangolo $\supseteq E$}\}$[/tex]
sono contigui ed il loro unico numero separatore si denota con [tex]$m(E)$[/tex].
In generale, se [tex]$E$[/tex] non è necessariamente misurabile, i due insiemi [tex]$\sigma (E)$[/tex] e [tex]$\Sigma (E)$[/tex] sono solo separati ed il secondo è l'insieme dei maggioranti (nel senso che [tex]$\forall \sigma \in \sigma (E),\ \forall \Sigma \in \Sigma (E)$[/tex] si ha [tex]$\sigma \leq \Sigma$[/tex]); in tal caso esistono finiti i due numeri:
[tex]$m_i (E) :=\sup \sigma (E)$[/tex] e [tex]$m_e(E) := \inf \Sigma (E)$[/tex]
che si chiamano rispettivamente misura interna e misura esterna secondo P-J di [tex]$E$[/tex]; per la stessa definizione si ha [tex]$0\leq m_i(E) \leq m_e(E)$[/tex].
Ne viene che [tex]$E$[/tex] è misurabile secondo P-J se e solo se [tex]$m_i(E)=m_e(E)$[/tex] ed in tal caso risulta [tex]$m(E)=m_i(E)=m_e(E)$[/tex].
ok grazie
Riuppo questo topic per un dubbio teorico sulla misura di PJ.
Un sottoinsieme $A sub RR^2$ si dice misurabile secondo Peano jordan se la sua funzione caratteristica $1_A (x,y):$
$1_A (x,y)={(1, ", se " (x,y) in A),(0, ", se " (x,y) notin A):}$
Credo d'aver capito anche quando si parla di pluri-intervallo. Oltre a queste due nozioni, cos'altro c'è da sapere sulla misura di PJ? Lo chiedo perchè sul mio libro non è affatto trattata e nel programma chiede solo dei Cenni sulla misura di Peano Jordan.
Un sottoinsieme $A sub RR^2$ si dice misurabile secondo Peano jordan se la sua funzione caratteristica $1_A (x,y):$
$1_A (x,y)={(1, ", se " (x,y) in A),(0, ", se " (x,y) notin A):}$
Credo d'aver capito anche quando si parla di pluri-intervallo. Oltre a queste due nozioni, cos'altro c'è da sapere sulla misura di PJ? Lo chiedo perchè sul mio libro non è affatto trattata e nel programma chiede solo dei Cenni sulla misura di Peano Jordan.
"Mr.Mazzarr":
Riuppo questo topic per un dubbio teorico sulla misura di PJ.
Un sottoinsieme $A sub RR^2$ si dice misurabile secondo Peano jordan se la sua funzione caratteristica $1_A (x,y):$
$1_A (x,y)={(1, ", se " (x,y) in A),(0, ", se " (x,y) notin A):}$
Questa frase è incompleta...
"Mr.Mazzarr":
Credo d'aver capito anche quando si parla di pluri-intervallo. Oltre a queste due nozioni, cos'altro c'è da sapere sulla misura di PJ? Lo chiedo perchè sul mio libro non è affatto trattata e nel programma chiede solo dei Cenni sulla misura di Peano Jordan.
Dovresti chiederlo al tuo docente.
Se ha messo in programma una cosa che non è nel libro di testo consigliato, dovrebbe fornire un riferimento bibliografico specifico e/o delle dispense apposite.
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