Misura di Lebesgue su una varietà differenziale
Ciao a tutti, ho un problema con quanto scritto sulle dispense dal mio professore di Analisi II. Vi riporto quanto scritto:
"Ci proponiamo ora di de finire la misura di Lebesgue su una varietà a di fferenziale
M immersa in uno spazio euclideo X. Cominciamo a farlo sui boreliani di M.
L'idea è di prendere un boreliano B di M, di considerarne la funzione caratterisica
e di mostrare che tale funzione caratteristica si può scrivere come
somma (in fnita) di funzioni, ciascuna delle quali a supporto compatto contenuto
nell'immagine di una parametrizzazione. Poi prendiamo ciascuna di
queste funzioni, ne facciamo l'integrale (super ficiale) sulla corrispondente parametrizzazione,
e sommiamo tutti gli integrali ottenuti: il risultato sarà per
de finizione la misura di B.
Al fine di scrivere la caratteristica di B come somma (infi nita) di funzioni,
ciascuna delle quali a supporto compatto contenuto nell'immagine di una parametrizzazione,
scriveremo la funzione costante 1 come somma di funzioni di
questo tipo." e poi continua definendo la partizione dell'unità etc etc.
Secondo me però non è vero che scriviamo la funzione caratteristica di B come somma infinita di funzioni a supporto compatto, contenuto nell'immagine di una parametrizzazione, ma, appunto, scriviamo la funzione costante 1 come somma di tali funzioni, mentre la caratteristica di B ci serve a sapere quando un punto appartenga o meno a B. Sbaglio ?
E già che ci siamo
..non mi è del tutto chiaro perchè le funzioni della partizione dell'unità devono essere a supporto compatto..
PS scusate so di essere troppo discorsivo !
"Ci proponiamo ora di de finire la misura di Lebesgue su una varietà a di fferenziale
M immersa in uno spazio euclideo X. Cominciamo a farlo sui boreliani di M.
L'idea è di prendere un boreliano B di M, di considerarne la funzione caratterisica
e di mostrare che tale funzione caratteristica si può scrivere come
somma (in fnita) di funzioni, ciascuna delle quali a supporto compatto contenuto
nell'immagine di una parametrizzazione. Poi prendiamo ciascuna di
queste funzioni, ne facciamo l'integrale (super ficiale) sulla corrispondente parametrizzazione,
e sommiamo tutti gli integrali ottenuti: il risultato sarà per
de finizione la misura di B.
Al fine di scrivere la caratteristica di B come somma (infi nita) di funzioni,
ciascuna delle quali a supporto compatto contenuto nell'immagine di una parametrizzazione,
scriveremo la funzione costante 1 come somma di funzioni di
questo tipo." e poi continua definendo la partizione dell'unità etc etc.
Secondo me però non è vero che scriviamo la funzione caratteristica di B come somma infinita di funzioni a supporto compatto, contenuto nell'immagine di una parametrizzazione, ma, appunto, scriviamo la funzione costante 1 come somma di tali funzioni, mentre la caratteristica di B ci serve a sapere quando un punto appartenga o meno a B. Sbaglio ?
E già che ci siamo
..non mi è del tutto chiaro perchè le funzioni della partizione dell'unità devono essere a supporto compatto.. PS scusate so di essere troppo discorsivo !
Risposte
La caratteristica di [tex]$B$[/tex] è la funzione:
[tex]$\chi_B(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se $x\in B$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
quindi essa è costantemente uguale ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$B$[/tex].
Per quanto riguarda le partizioni, il fatto di volerle a supporto compatto dipende dallo scopo cui ti servono. Qui vuoi ottenere degli integrali finiti da sommare, quindi prendere le funzioni continue ed a supporto compatto ti serve a garantire che ognuna di esse ha integrale finito.
[tex]$\chi_B(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se $x\in B$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
quindi essa è costantemente uguale ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$B$[/tex].
Per quanto riguarda le partizioni, il fatto di volerle a supporto compatto dipende dallo scopo cui ti servono. Qui vuoi ottenere degli integrali finiti da sommare, quindi prendere le funzioni continue ed a supporto compatto ti serve a garantire che ognuna di esse ha integrale finito.
"gugo82":
La caratteristica di [tex]$B$[/tex] è la funzione:
[tex]$\chi_B(x):=\begin{cases} 1 &\text{, se $x\in B$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex]
quindi essa è costantemente uguale ad [tex]$1$[/tex] in [tex]$B$[/tex].
Per quanto riguarda le partizioni, il fatto di volerle a supporto compatto dipende dallo scopo cui ti servono. Qui vuoi ottenere degli integrali finiti da sommare, quindi prendere le funzioni continue ed a supporto compatto ti serve a garantire che ognuna di esse ha integrale finito.
Ok...ma allora non mi è chiaro perchè definiamo la misura di Lebesgue nel modo seguente:
Definizione Siano $n,m in N""{0}, m<=n. $Sia $(X, ("*","*")_X)$ uno spazio Euclideo di dimensione n.Sia $M$ una varietà differenziale di classe $C^1$ immersa in $X$ di dimensione m. Sia $(gamma_i)_i$ un atlante di $M$, con $gamma_i$ carta di $V_i nn M$ in $U_i$ e $V_i$ aperto in $X$. Sia $phi_i$ la parametrizzazione inversa di $gamma_i$. Sia ${theta_j}_j$ una partizione di 1 subordinata al ricoprimento ${V_i}_i$ di $V := U (V_i)$.
Allora chiameremo misura di Lebesgue su $M$ la funzione $m_M$ di $B_M$ (sigma algebra dei boreliani di M) in $[0; +oo]$ definita da $m_M(B) = sum_(j = 0)^(+oo) int_(phi_(i(j)))chi_B theta_j dsigma $
Bisognerebbe verificare che è una misura ma vabbè
...comunque quello che non capisco è perchè affermiamo che stiamo scrivendo $chi_B$ come somma delle funzioni $theta_j$ ???
Il tuo professore ha indicato qualche libro a cui fare riferimento? L'argomento mi interessa e non lo conosco. Comunque l'idea dovrebbe essere questa: se hai un Boreliano $B$ contenuto in un aperto coordinatizzato $(U, gamma)$, sai attribuire una misura a $B$. In generale, però, $B$ non è contenuto in un solo aperto coordinatizzato ma è ricoperto da una infinità al più numerabile di tali aperti. Allora, fabbricando una opportuna partizione dell'unità ${theta_j}$ e scrivendo $chi_B=sum_{j=0}^infty chi_B theta_j$ scomponi la funzione caratteristica di $B$ in una somma di funzioni caratteristiche ciascuna supportata in un aperto coordinatizzato: a questo punto usi questa osservazione per attribuire una misura a $B$.
Ma, ripeto, non ho mai studiato questo argomento, perciò se indichi un riferimento bibliografico questo aiuterebbe.
Ma, ripeto, non ho mai studiato questo argomento, perciò se indichi un riferimento bibliografico questo aiuterebbe.
Io uso le dispense del mio professore (se ti interessano posso mandartele) e il libro Analisi II di De Marco (su cui però non è trattato questo argomento, o almeno non in questo modo).
Il mio professore ha citato più di qualche volta questo http://www.abebooks.com/9780471317166/R ... 317160/plp ma io non l'ho letto; non saprei darti altri riferimenti bibliografici.
Comunque l'idea , generale l'ho piò o meno afferrata. Il problema è che non sono completamente d'accordo (o non lo capisco) sul come venga formalizzata sulle dispense (vedi il pezzo citato sopra
).
Quello che voglio dire è che noi consideriamo un boreliano $B$ in $M$, e come giustamente hai detto, sappiamo che può essere ricoperto da un'infinità numerabile di aperti coordinatizzati. Per definire la misura di $B$ su $M$ considero un atlante di $M$, considero le parametrizzazioni $phi_i$ (cioè le inverse delle carte $gamma_i$ dell'atlante scelto per M) e definisco la misura su $M$ di $B$ come la somma degli integrali superficiali della caratteristica di $B$ ($chi_B$) su tutte queste parametrizzazioni (che sono delle varietà parametriche). Ovviamente quando considero una parametrizzazione la cui immagine non contiene punti di $B$ la funzione caratteristica di $B$ mi manda l'integrale superficiale a zero. E da quel che ho capito usiamo la partizione dell'unità per non contare più volte delle regioni di $B$...non so se mi sono spiegato
Il mio professore ha citato più di qualche volta questo http://www.abebooks.com/9780471317166/R ... 317160/plp ma io non l'ho letto; non saprei darti altri riferimenti bibliografici.
Comunque l'idea , generale l'ho piò o meno afferrata. Il problema è che non sono completamente d'accordo (o non lo capisco) sul come venga formalizzata sulle dispense (vedi il pezzo citato sopra
).Quello che voglio dire è che noi consideriamo un boreliano $B$ in $M$, e come giustamente hai detto, sappiamo che può essere ricoperto da un'infinità numerabile di aperti coordinatizzati. Per definire la misura di $B$ su $M$ considero un atlante di $M$, considero le parametrizzazioni $phi_i$ (cioè le inverse delle carte $gamma_i$ dell'atlante scelto per M) e definisco la misura su $M$ di $B$ come la somma degli integrali superficiali della caratteristica di $B$ ($chi_B$) su tutte queste parametrizzazioni (che sono delle varietà parametriche). Ovviamente quando considero una parametrizzazione la cui immagine non contiene punti di $B$ la funzione caratteristica di $B$ mi manda l'integrale superficiale a zero. E da quel che ho capito usiamo la partizione dell'unità per non contare più volte delle regioni di $B$...non so se mi sono spiegato
Mmm forse questo potrebbe aiutare un po' http://unapologetic.wordpress.com/2011/03/07/partitions-of-unity/...che dite ? mi sembra fatto bene
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo