Misura di lebesgue e misurabilità
dunque avrei un paio di domande:
la prima è:
-la definizione di misura di lebesgue è questa:
la misura esterna di lebesgue su $R^n$ è la funzione di insieme $alpha:P(R^n)->[o,+infty]$ definita per ogni insieme E cosi
$mu_n(E)=$inf${\sum_{n=1}^\inftylambda(I_j)| I_j$ intervalli aperti e limitati di $ R^n; E sub uu I_j}$
la mia domanda era:ma invece di prendere intervalli aperti , si possono prendere intervalli chiusi o di qualsiasi tipo??? cambia la definizione???
-la seconda era un esercizio:
sia X uno spazio topologico e $F$ una $sigma$-algebra su X. supponiamo che gli aperti di X stiano in F. sia $E_1 in F$ e pongo
$E_2=X/E_1$(è il complementare). supponiamo che per i=1,2 sia data una funzione $f_i: X_i->Y$ continua su $E_i$ rispetto alla topologia indotta su X. Mostrare che la funzione $f:X->Y$ definita da $f(x)=f_i(x)$ se $x in E_i$ , è misurabile.
se non ho capito male dovrei dimostrare che per ogni aperto A di Y , $f^-1(A) in F$ però non ho alcuna idea su come dimostrarlo...avete qualche consiglio??
la prima è:
-la definizione di misura di lebesgue è questa:
la misura esterna di lebesgue su $R^n$ è la funzione di insieme $alpha:P(R^n)->[o,+infty]$ definita per ogni insieme E cosi
$mu_n(E)=$inf${\sum_{n=1}^\inftylambda(I_j)| I_j$ intervalli aperti e limitati di $ R^n; E sub uu I_j}$
la mia domanda era:ma invece di prendere intervalli aperti , si possono prendere intervalli chiusi o di qualsiasi tipo??? cambia la definizione???
-la seconda era un esercizio:
sia X uno spazio topologico e $F$ una $sigma$-algebra su X. supponiamo che gli aperti di X stiano in F. sia $E_1 in F$ e pongo
$E_2=X/E_1$(è il complementare). supponiamo che per i=1,2 sia data una funzione $f_i: X_i->Y$ continua su $E_i$ rispetto alla topologia indotta su X. Mostrare che la funzione $f:X->Y$ definita da $f(x)=f_i(x)$ se $x in E_i$ , è misurabile.
se non ho capito male dovrei dimostrare che per ogni aperto A di Y , $f^-1(A) in F$ però non ho alcuna idea su come dimostrarlo...avete qualche consiglio??
Risposte
1) No, non cambia niente.
2) Le $f_i$ immagino siano definite su $E_i$. Prova a scrivere $A = [A\cap f(E_1)] \cup [ A \cap (Y\setminus f(E_1))]$ e a ragionare di conseguenza sulla controimmagine.
2) Le $f_i$ immagino siano definite su $E_i$. Prova a scrivere $A = [A\cap f(E_1)] \cup [ A \cap (Y\setminus f(E_1))]$ e a ragionare di conseguenza sulla controimmagine.
per quel che riguarda la 2 ok ora ci provo a pensare...per quel che riguarda 1 posso chiedere, perchè non cambia niente..??
Una unione numerabile di frontiere di intervalli è sempre contenuta in un insieme di misura esterna piccola a piacere.
(Pensa, ad esempio, al caso bidimensionale: ogni frontiera è una unione di $4$ segmenti che puoi "incastrare" in striscioline sottili a piacere.)
(Pensa, ad esempio, al caso bidimensionale: ogni frontiera è una unione di $4$ segmenti che puoi "incastrare" in striscioline sottili a piacere.)
va bene dire
$f^-1(A)=f^-1[A nn f(E_1)] nn f^-1[A nn (Y \E_1)]$(non mi viene la barretta del complementare nell'ultimo pezzo, cmq ci siamo capiti xD ) e entrambi sono aperti perchè f manda aperti in aperti, essendo continua. L'intersezione di due aperti di F è una aperto che appartiene ancora a F???
$f^-1(A)=f^-1[A nn f(E_1)] nn f^-1[A nn (Y \E_1)]$(non mi viene la barretta del complementare nell'ultimo pezzo, cmq ci siamo capiti xD ) e entrambi sono aperti perchè f manda aperti in aperti, essendo continua. L'intersezione di due aperti di F è una aperto che appartiene ancora a F???
Usando la definizione di controimmagine:
\( f^{-1}(A) := \{ x\in X: f(x) \in A\} = \{ x\in E_1: f_1(x) \in A\}\cup \{ x\in E_2: f_2(x) \in A\} = f_1^{-1}(A) \cup f_2^{-1}(A).\)
\( f^{-1}(A) := \{ x\in X: f(x) \in A\} = \{ x\in E_1: f_1(x) \in A\}\cup \{ x\in E_2: f_2(x) \in A\} = f_1^{-1}(A) \cup f_2^{-1}(A).\)
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