Misura di Lebesgue di un insieme di dimensione minore

[nato_pigro1]

Indico con $m_n(A)$ la misura di Lebesgue di un insieme $AsubRR^n$. E' vero che $m_(n+1)(A)=0$?

[dissonance]

Yes. Prova a dimostrare che la misura di un qualsiasi iperpiano in $RR^n$ è zero. Dopodiché la misura di ogni insieme contenuto nell'iperpiano sarà zero a sua volta.

[Luca.Lussardi]

In realtà in $\RR^n$ ha senso solo fare misure di massima dimensione $n$; cioè per $A \subset \RR^n$ si possono considerare le misure di Hausdorff $H^d(A)$ per ogni $d \in [0,n]$ (notare che $d$ è reale, non intero). Un bel teorema dice che esiste un unico $d \in [0,m]$ tale per cui $H^m(A)=0$ per ogni $m>d$ e $H^m(A)=+\infty$ per ogni $m

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[nato_pigro1]

"dissonance":Yes. Prova a dimostrare che la misura di un qualsiasi iperpiano in $RR^n$ è zero. Dopodiché la misura di ogni insieme contenuto nell'iperpiano sarà zero a sua volta.

mi viene in mente solo questa strada ma di sicuro c'è qualcosa di più semplice.

Non è restrittivo supporre l'iperiano passante per $0_(RR^n)$, l'iperpiano è illimitato quindi, per definizione, la sua misura è $m_n(H)=lim_(r->+oo) m_n(HnnB_(RR^n)(0_(RR^n),r))$.
$HnnB_(RR^n)(0_(RR^n),r) sub$ in un intervallo $n$-dimensionale di misura di Peano_Jordan $(2r)^(n-1)*0=0$, questo intervallo n-dimensionale è limitato dunque la sua misura di Peano-Jordan è uguale a quella di Lebesgue, da qui segue che $m_n(HnnB_(RR^n)(0_(RR^n),r))<=0$ e quindi $m_n(H)=0$.

[dissonance]

Non lo so, nato_pigro, non mi piace tanto. Secondo me andrebbe mostrato direttamente senza fare ricorso alla teoria di Peano-Jordan. Ti dico come farei io.

Sia [tex]H=\{(x_1 \ldots x_n, 0) \mid -\infty
[tex]\displaymath H= \bigcup_{p_1 \ldots p_n \in \mathbb{Z}} \{(x_1 \ldots x_n, 0) \mid p_1 \le x_1 \le p_1+1 \ldots p_n \le x_n \le p_n +1\}[/tex];

in [tex]\mathbb{R}^3[/tex], questa è una pavimentazione del piano [tex]xy[/tex] con quadrati di vertici interi e lato [tex]1[/tex].

Tutti gli insiemi introdotti finora sono chiusi, quindi Boreliani e in particolare misurabili secondo Lebesgue. Inoltre ogni iper-quadrato si ottiene traslando

[tex]H_0= \{(x_1 \ldots x_n, 0) \mid 0 \le x_1 \le 1 \ldots 0 \le x_n \le 1\}[/tex]

quindi, se mostriamo che [tex]H_0[/tex] ha misura nulla, anche tutti gli altri iper-quadrati avranno misura nulla e la loro unione (essendo numerabile) pure avrà misura nulla; avremo così che [tex]H[/tex] è contenuto in un insieme di misura nulla e perciò la tesi.

Ora prendiamo un numero naturale [tex]k\ge 1[/tex]. Possiamo decomporre l'intervallo [tex][0, 1][/tex] in [tex]k[/tex] segmentini lunghi [tex]1/k[/tex]:

[tex]\displaymath [0, 1]=[0, {1\over k}] \cup [{1\over k}, {2\over k}] \cup \ldots \cup [{k-1\over k} , 1][/tex];

con lo stesso principio possiamo decomporre [tex]H_0[/tex] in [tex]k^n[/tex] iper-quadratini di lato [tex]1/k[/tex], ognuno dei quali ha questa forma:

[tex]\displaymath [{a_1 \over k}, {a_1+1 \over k}] \times \ldots \times [{a_n \over k}, {a_n +1 \over k}] \times \{0\}[/tex].

Se lasciamo che l'ultima coordinata, attualmente bloccata sullo [tex]0[/tex], vari nell'intervallo, di ampiezza [tex]1/k[/tex], [tex][-{1 \over 2k}, {1 \over 2k}][/tex], otteniamo un iper-cubetto (un cubo nel caso di [tex]\mathbb{R}^3[/tex]) del quale sappiamo calcolare la misura:

[tex]\displaymath m_{n+1} [{a_1 \over k}, {a_1+1 \over k}] \times \ldots [{a_n \over k}, {a_n +1 \over k}] \times [-{1 \over 2k}, {1 \over 2k}]=({1 \over k})^{n+1}[/tex].

Chiaramente ogni iper-cubetto contiene l'iper-quadratino corrispondente: abbiamo quindi che [tex]H_0[/tex] è contenuto nell'unione di tutti gli iper-cubetti. Ricordiamo che in totale abbiamo [tex]k^n[/tex] iper-cubetti, e che ognuno misura [tex]({1\over k})^{n+1}[/tex]: la misura dell'unione di tutti gli iper-cubetti è allora [tex]{1\over k}[/tex]. Quindi

[tex]\displaymath m_{n+1}(H_0) \le {1 \over k}[/tex].

Dall'arbitrarietà di [tex]k[/tex] segue che [tex]m_{n+1}(H_0)=0[/tex].

[dissonance]

Ah mi sono accorto che manca un dettaglio tecnico. Nel post precedente abbiamo considerato l'iperpiano [tex]H[/tex] ma chiaramente in [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] ci sono anche altri iperpiani. Ognuno di questi si può ottenere da [tex]H[/tex] per mezzo di una affinità. Ora si può procedere in (almeno) due modi:

1) usare un teorema secondo cui una affinità [tex]T[/tex] manda misurabili in misurabili e

[tex]\displaymath [tex]m(T(A))=\lvert \det(T) \rvert m(A)[/tex]

per ogni [tex]A \subset \mathbb{R}^{n+1}[/tex] misurabile;

2) usare un teorema secondo cui ogni mappa Lipschitziana manda insiemi di misura nulla in insiemi di misura nulla, e chiaramente ogni affinità è Lipschitziana.

Scegli tu quello che ti sta più comodo.

[gugo82]

In altro modo, detto [tex]$Q(n) =[-n,n]^N \subseteq \mathbb{R}^N$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] ed [tex]$H$[/tex] il nostro iperpiano d'equazione [tex]$x_{N+1}=0$[/tex], si ha:

[tex]$H=\bigcup_{n=1}^{+\infty} Q(n)\times \{ 0\}$[/tex]

con unione crescente, sicché per la proprietà di continuità dal basso:

[tex]$|H|_{N+1} =\lim_n |Q(n)\times \{ 0\} |_{N+1}$[/tex];*

ma, per ogni [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] si ha:

[tex]$Q(n)\times \{ 0\} =\bigcap_{m=1}^{+\infty} Q(n) \times [-e^{-m},e^{-m}]$[/tex]

con l'intersezione decrescente, sicché per continuità dall'alto:

[tex]$|Q(n)\times \{ 0\} |_{N+1} =\lim_m |Q(n)\times [-e^{-m},e^{-m}]|_{N+1} =\lim_m 2|Q(n)|_N\ e^{-m} =0$[/tex];

ne consegue [tex]$|H|_{N+1} =0$[/tex].

Nel caso generale, basta tenere presente che ogni iperpiano [tex]$\Pi$[/tex] si può trasformare in [tex]$H$[/tex] mediante un movimento rigido diretto (traslazione + rotazione) d'equazione [tex]$F(x)=O\cdot x+b$[/tex], in cui [tex]$O\in \mathbb{GL}(N+1)$[/tex] è una rotazione e [tex]$b\in \mathbb{R}^{N+1}$[/tex] è un vettore di traslazione; siccome lo jacobiano di [tex]$F$[/tex] è [tex]$\det O=1$[/tex], la [tex]$F$[/tex] non altera le misure (beh, non altera certamente quelle elementari degli ipercubetti di [tex]$\mathbb{R}^{N+1}$[/tex], ergo non altera la misura di alcun misurabile...) e perciò [tex]$|\Pi |_{N+1} =|H|_{N+1} =0$[/tex].


@dissonance: Ho visto che hai risposto a quell'esercizio sulle funzioni a derivate assegnate: ad una prima occhiata la soluzione mi sembrava esatta, ma penso di leggere per bene le tue risposte durante il week-end (impegni permettendo! ).


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* Qui e nel seguito [tex]$|\cdot |_d$[/tex] indica la misura di Lebesgue in [tex]$\mathbb{R}^d$[/tex].