Misura di Lebesgue di insiemi non limitati in R^n

[dissonance]

Supponiamo di aver già definito la misura di Lebesgue in $RR^N$ per insiemi limitati. Precisamente, abbiamo definito la misura elementare degli aperti e dei compatti come sup e inf dei volumi dei plurintervalli contenuti e contenenti rispettivamente l'aperto e il compatto. Poi definiamo, per ogni $X\subRR^N$ limitato la misura esterna ed interna di $X$ come
$m_e(X)="inf"{m(A)\ |\ A" aperto", X\subA}$, $m_i(X)="sup"{m(K)\ |\ K" compatto", K\subX}$. X si dirà misurabile se $m_e(X)=m_i(X)$.

Ora passiamo agli insiemi non limitati. Su alcuni libri e dispense che ho consultato si procede così:
data la famiglia $B(0; r)$ delle palle aperte di centro 0 e raggio $r>0$, $X$ si dirà misurabile se per ogni $r>0$ risulta che $XnnB(0; r)$ (che è limitato) è misurabile. In questo caso definiamo $m(X)=lim_{r\toinfty}m(XnnB(0; r))$. (A volte, invece delle palle ho trovato gli intervalli limitati). Ma mi chiedo, perché proprio questi insiemi particolari?

Io procederei così: un insieme $X\subRR^N$ non limitato si dice misurabile $<=>$ per ogni $Y$ limitato e misurabile l'insieme $XnnY$, che è limitato, è misurabile. In questo caso, diremo $m(X)="sup"{m(XnnY)}$.

Funziona questa definizione? Io credo che sia equivalente a quella di sopra, e la dimostrazione mi sembra anche abbastanza facile. Ma ho paura di stare andando incontro a qualche errore...Qualche suggerimento?

[gugo82]

C'è equivalenza... ed appunto per questo che si prendono le palle (o i cubi) di centro $o$, cioè per comodità (visto che in tal caso il $"sup"$ diventa un ordinario $lim_(r\to +oo)$).


P.S.: Evidentemente il tuo $"sup"$ si intende preso sulla classe degli $Y$ limitati ed $L$-misurabili.

[dissonance]

"Gugo82":
P.S.: Evidentemente il tuo $"sup"$ si intende preso sulla classe degli $Y$ limitati ed $L$-misurabili.

Certo, non l'ho scritto per fare prima.

Allora, questo fatto mi fa venire in mente una domanda. Sul Marcellini-Sbordone avevo trovato una definizione di "integrale improprio" per le funzioni generalmente continue definite su P.J.-misurabili non necessariamente limitati.
Supponiamo, per semplicità, che $f$ sia una funzione continua sull'insieme $X$, a valori in $[0, infty)$, e che per ogni P.J.misurabile (limitato) $Y$ risulti che $XnnY$ è P.J.-misurabile. Allora possiamo definire una funzione integrale $F(Y)=int_Yf(x)"dx"$ per ogni misurabile limitato $Y$ su cui $f$ è limitata.

Ora Marcellini-Sbordone danno delle condizioni perché si possa "mandare al limite" questa funzione integrale, considerando opportune successioni di insiemi misurabili invadenti $X$. Sotto certe ipotesi questo limite esiste finito, è indipendente dalla successione scelta e lo chiameremo $int_Xf(x)"dx"$, integrale improprio.

Quello che mi chiedo è: qual'è la differenza con gli integrali di funzioni $L^1$ (riferito a funzioni definite in $RR^n$ con la misura di Lebesgue, e a valori positivi)? L'idea di fondo è la stessa, se non sbaglio. In ultima analisi, se il dominio di integrazione $X$ non è limitato, sempre da una successione invadente di misurabili dobbiamo passare. Solo che nel caso dell'integrale di Lebesgue abbiamo già codificato tutto quando abbiamo costruito la misura, ed ecco perché non c'è bisogno di parlare di "integrali di Lebesgue impropri di funzioni $L^1$". O mi sbaglio?

P.S.: Grazie mille Gugo!

[alle.fabbri]

"dissonance":
(A volte, invece delle palle ho trovato gli intervalli limitati). Ma mi chiedo, perché proprio questi insiemi particolari?

Secondo me il motivo è che tu stai studiando $RR^n$. Lì devi definire la $\sigma$-algebra dei boreliani e per farlo devi usare una topologia. Quella usuale in $RR^n$ è quella delle sfere aperte. Cmq le nozioni di misura sono pre-metriche, nel senso che non hai bisogno di una distanza per poterle definire. E infatti la tua definizione è giusta...forse andrebbe aggiunto che il fatto prendi il sup sulla $\sigma$-algebra dei boreliani che contengono l'origine. Ma secondo me va anche bene se il sup lo prendi sugli intorni aperti dell'origine, però è più una intuizione....non saprei dimostrarlo.....