Misura di Lebesgue
Scusate ragazzi ma la sub-additività vale anche per insiemi misurabili?Sia quella numerabile che quella finita?
Risposte
E certo... Altrimenti come le calcoli le misure coinvolte, se non sei nei misurabili?
infatti stavo per editare,perchè avevo trovato la risposta.
Mi era venuto un attimo sto dubbio perchè scorrevo scorrevo il libro ma non trovavo nulla,anche se era anche logica come cosa.
Un altra curiosità ,nel programma leggo:
confonto fra l'integrale di Lebesgue e integrali impropri di Riemman (solo enunciato),ma vi è un teorema a proposito?
Mi era venuto un attimo sto dubbio perchè scorrevo scorrevo il libro ma non trovavo nulla,anche se era anche logica come cosa.
Un altra curiosità ,nel programma leggo:
confonto fra l'integrale di Lebesgue e integrali impropri di Riemman (solo enunciato),ma vi è un teorema a proposito?
Un altra cosa:
E' corretto dire che per Lebesguè integrabilità ed assoluta integrabilità coincidono essendo che:
$f=f^+ -f^-$ ed $f$ è integrabile se e sole se lo sono separatamente la sua parte positiva e la sua parte negativa,
ma essendo $|f|=f^++f^-$ ,deriva che $f$ è integrabile se e solo se lo è anche |f| e viceversa?
Grazie per Eventuali risposte
E' corretto dire che per Lebesguè integrabilità ed assoluta integrabilità coincidono essendo che:
$f=f^+ -f^-$ ed $f$ è integrabile se e sole se lo sono separatamente la sua parte positiva e la sua parte negativa,
ma essendo $|f|=f^++f^-$ ,deriva che $f$ è integrabile se e solo se lo è anche |f| e viceversa?
Grazie per Eventuali risposte
In effetti è questione di definizione.
La maggior parte degli autori definisce integrabile alla Lebesgue una funzione [tex]$f$[/tex] che ha integrabili (nel senso dell'approssimazione con funzioni semplici) entrambi la parte negativa e la parte positiva, [tex]$f^-$[/tex] ed [tex]$f^+$[/tex]: in altre parole, [tex]$f$[/tex] è integrabile alla Lebesgue se e solo se gli integrali delle funzioni positive [tex]$f^+$[/tex] ed [tex]$f^-$[/tex] sono entrambi finiti.
Ciò equivale a stabilire per definizione che [tex]$f$[/tex] è integrabile se e solo se tale è [tex]$|f|$[/tex], sicché c'è equivalenza tra integrabilità semplice ed assoluta.
Tuttavia ci sono pochi autori (almeno a detta di un mio anziano professore di Teoria della Misura) che optano per una definizione più debole, ossia che [tex]$f$[/tex] è integrabile se e solo se la somma [tex]$\int f^+ -\int f^-$[/tex] non si presenta in forma indeterminata [tex]$\infty -\infty$[/tex] (ciò accade se almeno uno dei due integrali è finito). In questo caso, l'equivalenza tra integrabilità semplice ed assoluta si perde e l'integrabilità assoluta diventa una condizione più forte (e sufficiente all'integrabilità semplice).
La maggior parte degli autori definisce integrabile alla Lebesgue una funzione [tex]$f$[/tex] che ha integrabili (nel senso dell'approssimazione con funzioni semplici) entrambi la parte negativa e la parte positiva, [tex]$f^-$[/tex] ed [tex]$f^+$[/tex]: in altre parole, [tex]$f$[/tex] è integrabile alla Lebesgue se e solo se gli integrali delle funzioni positive [tex]$f^+$[/tex] ed [tex]$f^-$[/tex] sono entrambi finiti.
Ciò equivale a stabilire per definizione che [tex]$f$[/tex] è integrabile se e solo se tale è [tex]$|f|$[/tex], sicché c'è equivalenza tra integrabilità semplice ed assoluta.
Tuttavia ci sono pochi autori (almeno a detta di un mio anziano professore di Teoria della Misura) che optano per una definizione più debole, ossia che [tex]$f$[/tex] è integrabile se e solo se la somma [tex]$\int f^+ -\int f^-$[/tex] non si presenta in forma indeterminata [tex]$\infty -\infty$[/tex] (ciò accade se almeno uno dei due integrali è finito). In questo caso, l'equivalenza tra integrabilità semplice ed assoluta si perde e l'integrabilità assoluta diventa una condizione più forte (e sufficiente all'integrabilità semplice).
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