Misura di Lebesgue
Qual è un possibile esempio di sottoinsieme di $RR$ non misurabile secondo Lebesgue?
Risposte
L'insieme di Vitali:
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali
La dimostrazione della non misurabilità è un po' complicata, purtroppo. Del resto l'esistenza di questo insieme è una diretta conseguenza dell'assioma della scelta, "senza il quale tutte le parti di $RR$ sarebbero misurabili" (tra virgolette perché è una cosa detta alla buona).
L'idea è: grazie all'assioma della scelta si trova in $[0, 1]$ un insieme $V$ "fittissimo", ma non continuo (non contiene neanche un intervallo), che se traslato di una lunghezza razionale si dispone in modo da occupare posizioni completamente diverse da quelle che occupava in precedenza. La misura di Lebesgue è invariante per traslazioni, quindi ogni traslato di questo aggeggio dovrebbe conservare la stessa misura. Ma effettuando una quantità numerabile di traslazioni l'aggeggio resta incluso in un insieme limitato, quindi la serie $sum m(V)$ deve avere una somma finita: consegue che $m(V)=0$. E però questo non va bene, perché sempre effettuando una quantità numerabile di traslazioni, con delle copie di $V$ si può ricoprire tutto $[0, 1]$. Quindi arriviamo alla contraddizione che $m[0, 1]=0$.
http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Vitali
La dimostrazione della non misurabilità è un po' complicata, purtroppo. Del resto l'esistenza di questo insieme è una diretta conseguenza dell'assioma della scelta, "senza il quale tutte le parti di $RR$ sarebbero misurabili" (tra virgolette perché è una cosa detta alla buona).
L'idea è: grazie all'assioma della scelta si trova in $[0, 1]$ un insieme $V$ "fittissimo", ma non continuo (non contiene neanche un intervallo), che se traslato di una lunghezza razionale si dispone in modo da occupare posizioni completamente diverse da quelle che occupava in precedenza. La misura di Lebesgue è invariante per traslazioni, quindi ogni traslato di questo aggeggio dovrebbe conservare la stessa misura. Ma effettuando una quantità numerabile di traslazioni l'aggeggio resta incluso in un insieme limitato, quindi la serie $sum m(V)$ deve avere una somma finita: consegue che $m(V)=0$. E però questo non va bene, perché sempre effettuando una quantità numerabile di traslazioni, con delle copie di $V$ si può ricoprire tutto $[0, 1]$. Quindi arriviamo alla contraddizione che $m[0, 1]=0$.
Ti ringrazio. Infatti il professore a lezione ci aveva tenuto a precisare che la sigma-algebra di Lebesgue su $RR$ non coincide con l'insieme delle parti di $RR$ (dunque esistono sottoinsiemi di $RR$ non misurabili secondo Lebesgue) e aveva accennato proprio all'assioma di scelta per la costruzione di un esempio di sottoinsieme di $RR$ non misurabile, senza però scendere nel dettaglio, in quanto la cosa esulava dagli scopi del corso.
E, se vi interessa, si può dire anche qualcosa in più a proposito della misura di Lebesgue in $\mathbb{R}$.
Con un ragionamento più o meno simile a quello di dissonance con qualche accorgimento tecnico, si prova che se $A$ è un insieme misurabile di $\mathbb{R}$ tale che ogni suo sottoinsieme è misurabile, allora $A$ ha misura nulla.
Come corollario si ottiene che ogni insieme misurabile con misura strettamente positiva ammette un sottoinsieme non misurabile.
Ce ne sono un bel po' di insiemi non misurabili!
Con un ragionamento più o meno simile a quello di dissonance con qualche accorgimento tecnico, si prova che se $A$ è un insieme misurabile di $\mathbb{R}$ tale che ogni suo sottoinsieme è misurabile, allora $A$ ha misura nulla.
Come corollario si ottiene che ogni insieme misurabile con misura strettamente positiva ammette un sottoinsieme non misurabile.
Ce ne sono un bel po' di insiemi non misurabili!
"cirasa":
Ce ne sono un bel po' di insiemi non misurabili!
Quanti?
"Chevtchenko":
[quote="cirasa"]Ce ne sono un bel po' di insiemi non misurabili!
Quanti?
[/quote]Eeeehhh, bella domanda...
Ci penserò!
Certamente posso dire che:
- Sia $A$ un insieme non misurabile contenuto in $[0,1]$. Allora per ogni $r>1$ l'insieme $A_r=A\cup[r,+\infty)$ è non misurabile.
Quindi la cardinalità dei non misurabili è almeno $c$ la cardinalità del continuo.
- Poi certamente è minore della cardinalità dell'insieme delle parti di $\mathbb{R}$, cioè è minore o uguale a $2^c$.
Finora, sono giunto a questo risultato e non mi vengono nuove idee. Chi mi dà qualche suggerimento?
- Sia $A$ un insieme non misurabile contenuto in $[0,1]$. Allora per ogni $r>1$ l'insieme $A_r=A\cup[r,+\infty)$ è non misurabile.
Quindi la cardinalità dei non misurabili è almeno $c$ la cardinalità del continuo.
- Poi certamente è minore della cardinalità dell'insieme delle parti di $\mathbb{R}$, cioè è minore o uguale a $2^c$.
Finora, sono giunto a questo risultato e non mi vengono nuove idee. Chi mi dà qualche suggerimento?
Kroldar guardati questo paradosso per sottolineare l'importanza degli insiemi non misurabili http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_di_Banach-Tarski
Ciao
Ciao
"Chevtchenko":
[quote="cirasa"]Ce ne sono un bel po' di insiemi non misurabili!
Quanti?
[/quote]Chi non muore si rilegge...
Ciao Cheva.
Ciao Gugo
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