MIsura di Caratheodory

[chiara3231]

Ciao
Una misura esterna $\mu$ è di Caratheodory se è definita sui sottoinsiemi di uno spazio metrico $X$ e se $\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$ per ogni $A,B$ tali che $d(A,B)>0$, dove $d$ è la metrica su $X$.
Quello che non capisco è perchè si senta l'esigenza di definire questo tipo di misura su uno spazio metrico. Dato che $d(A,B)>0$ se e solo se $A$ e $B$ sono disgiunti, non si poteva semplicemente dire che una misura è Caratheodory se è additiva su insiemi disgiunti?
Capisco che dopo gli insiemi chiusi siano misurabili per una misura di Carathoeodory, e quindi probabilmente la topologia indotta è quella della metrica, ma purtroppo dalle mie note questo non è chiaro.

[MartZeta]

Ma scusa, su \(\displaystyle \mu \) è una misura definita in \(\displaystyle X \) è già, per definizione, \(\displaystyle \sigma \)-additiva

[dissonance]

@chiara: C'è un errore. Tu stai implicitamente dicendo che, in uno spazio metrico, due insiemi disgiunti hanno distanza positiva. Ma questo è falso: \([0, 1)\) e \([1, 2]\) sono disgiunti ma la loro distanza è zero. D'altra parte tutte le misure interessanti, purtroppo, avranno insiemi non misurabili: e quindi non è detto che esse saranno additive su insiemi disgiunti. Lo saranno solo se gli insiemi sono misurabili, ma non sempre.

La condizione di Caratheodory, che stai studiando, è una maniera equivalente di dire che tutti gli insiemi di Borel sono misurabili rispetto alla misura esterna in questione.

[chiara3231]

@dissonance: Grazie mille, mi sembrava che ci fosse qualcosa che non quadrava! Quindi si chiede di più della disgiunzione, ma che i due insiemi siano effettivamente "staccati".

[dissonance]

Si. Due insiemi non misurabili disgiunti ma non separati (o "staccati" come dici tu) potrebbero essere tanto brutti e tanto incastrati l'uno nell'altro che la misura dell'unione risulti strettamente minore della somma delle misure.