Misura della frontiera di un compatto
Ciao a tutti, ho già controllato se ci fossero domande simili alla mia, ma non ho trovato nulla che mi desse la risposta che cerco.
Allora, sto studiando un pò di teoremi sulla Riemann integrabilità e, in particolare, ve n'è uno che in parole povere dice:
"Ogni funzione $ f: RR ^n -> RR $ che sia continua su un compatto $ A sub RR^n $ con misura di frontiera nulla è anche integrabile secondo Riemann in tale insieme.".
Ora, sulle dispense su cui sto studiando il prof dice: "Sia $A$ una regione "elementare", come per esempo: il cerchio, il rettangolo, il disco, il prisma, il cilindro, la piramide, la sfera. Allora, come è facile verificare, $ del A $ (la frontiera) ha misura zero".
Ma di questo io non ne sono convinto. Consideriamo il disco per esempio; posso scrivere:
$ A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2leq R^2 } $ dove $R$ è il raggio del disco.
La frontiera di tale disco sarà $ delA={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2= R^2 } $.
Ora, l'insieme$A$ è chiaramente compatto (in quanto è chiuso poichè contiene i suoi punti di frontiera e limitato in quanto è "contenuto" in un cerchio di raggio T>R).
Ora, la misura della frontiera, utilizzando la definizione di misura di una curva (in questo caso $delA$ è una curva chiusa ma non credo che ci siano problemi, la definizione dovrebbe essere la stessa) ottengo:
$ m_1(delA)=int_(delA) 1 =int_([a.b]) ||gamma'|| $ dove $gamma:[a,b]->RR^2$ è una parametrizzazione regolare della curva $delA$.
In tal caso posso scegliere come parametrizzazione la mappa $phi->(Rcos(phi),Rsin(phi))$ con $phi in [0,2pi]$ e quindi si ha:
$ int_(0)^(2pi) Rdphi =2piR $ che dovrebbe essere la misura della curva $delA$ e quindi della frontiera di A.
Ho sbagliato il modo di intendere la frontiera forse?? Perchè per un disco la misura della frontiera dovrebbe essere nulla? O forse è il concetto di "compatto" che non capisco? Perchè per come ho inteso le cose io sembrerebbe che nessuno compatto abbia misura di frontiera nulla...
Allora, sto studiando un pò di teoremi sulla Riemann integrabilità e, in particolare, ve n'è uno che in parole povere dice:
"Ogni funzione $ f: RR ^n -> RR $ che sia continua su un compatto $ A sub RR^n $ con misura di frontiera nulla è anche integrabile secondo Riemann in tale insieme.".
Ora, sulle dispense su cui sto studiando il prof dice: "Sia $A$ una regione "elementare", come per esempo: il cerchio, il rettangolo, il disco, il prisma, il cilindro, la piramide, la sfera. Allora, come è facile verificare, $ del A $ (la frontiera) ha misura zero".
Ma di questo io non ne sono convinto. Consideriamo il disco per esempio; posso scrivere:
$ A={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2leq R^2 } $ dove $R$ è il raggio del disco.
La frontiera di tale disco sarà $ delA={(x,y) in RR^2 | x^2+y^2= R^2 } $.
Ora, l'insieme$A$ è chiaramente compatto (in quanto è chiuso poichè contiene i suoi punti di frontiera e limitato in quanto è "contenuto" in un cerchio di raggio T>R).
Ora, la misura della frontiera, utilizzando la definizione di misura di una curva (in questo caso $delA$ è una curva chiusa ma non credo che ci siano problemi, la definizione dovrebbe essere la stessa) ottengo:
$ m_1(delA)=int_(delA) 1 =int_([a.b]) ||gamma'|| $ dove $gamma:[a,b]->RR^2$ è una parametrizzazione regolare della curva $delA$.
In tal caso posso scegliere come parametrizzazione la mappa $phi->(Rcos(phi),Rsin(phi))$ con $phi in [0,2pi]$ e quindi si ha:
$ int_(0)^(2pi) Rdphi =2piR $ che dovrebbe essere la misura della curva $delA$ e quindi della frontiera di A.
Ho sbagliato il modo di intendere la frontiera forse?? Perchè per un disco la misura della frontiera dovrebbe essere nulla? O forse è il concetto di "compatto" che non capisco? Perchè per come ho inteso le cose io sembrerebbe che nessuno compatto abbia misura di frontiera nulla...
Risposte
Ho sbagliato il modo di intendere la frontiera forse??Esatto. Tu ne hai calcolato la lunghezza, mentre dovresti calcolarne l'area.
aaaaaaaaaaa eccoooooooo!!! Quindi dici che se fosse una sfera dovrei misurare il volume della sua superficie???
In pratica, generalizzando dovrei trovare la misura n-dimensionale della frontiera??? (dove A è un sottoinsieme di $RR^n$)
In pratica, generalizzando dovrei trovare la misura n-dimensionale della frontiera??? (dove A è un sottoinsieme di $RR^n$)
Certo. E' chiaro che, se l'insieme è sufficientemente tranquillo, questa frontiera deve avere misura $n$-dimensionale nulla. In realtà il tuo prof "bara" un po', perché dimostrare una cosa simile in generale non è facile; intuitivamente però è ovvio e sicuramente lui non ha voluto sommergervi di dettagli complicati e fastidiosi e ha puntato invece al cuore della teoria.
Tanto per illustrare cosa intendo, qui abbiamo parlato della misura $n$ dimensionale di un iperpiano (sottospazio affine di codimensione $1$). Come vedi, c'è molta tecnica.
Tanto per illustrare cosa intendo, qui abbiamo parlato della misura $n$ dimensionale di un iperpiano (sottospazio affine di codimensione $1$). Come vedi, c'è molta tecnica.
Capito! Credo che per quello che mi hai linkato avrò bisogno di ancora mooooooolta analisi 
grazie comunque della risposta, hai chiarito i miei dubbi
grazie comunque della risposta, hai chiarito i miei dubbi
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