Misura della circonferenza in $RR^2$
Vorrei calcolare la misura della circonferenza in $RR^2$ usando direttamente la definizione di misura esterna ma non so bene che ricoprimento lebesguiano considerare.
Grazie!
Grazie!
Risposte
vuoi dire il cerchio (pieno)?
Poligoni circoscritti?
Perchè mettersi a fare conti coi quadratini è da folli...
Perchè mettersi a fare conti coi quadratini è da folli...
Dissonance intendo la frontiera del disco, che credo proprio abbia misura nulla ma vorrei riuscire a provarlo.
Gugo82, a che ti riferisci con la tua citazione?
Gugo82, a che ti riferisci con la tua citazione?
Puoi anche usare una successione di anelli, che so $D_{1+1/2}\setminus D_{1-1/2}, ..., D_{1+1/n}\setminus D_{1-1/n}...$. Questi sono tutti misurabili (se prendiamo per buono che i cerchi pieni lo siano) e la loro misura tende a 0. D'altra parte la circonferenza unitaria è esattamente la loro intersezione, quindi per un noto teorema sulla misura dell'intersezione decrescente puoi concludere.
Naturalmente abbiamo preso per buono che il cerchio è misurabile... Ma io sono d'accordo con Gugo, mettersi a trovare un ricoprimento di plurintervalli è una gran seccatura.
Naturalmente abbiamo preso per buono che il cerchio è misurabile... Ma io sono d'accordo con Gugo, mettersi a trovare un ricoprimento di plurintervalli è una gran seccatura.
@GreenLink: è una mia frase da un thread più o meno recente; l'ho messa come firma perchè la trovo appropriata alla situazione attuale dell'insegnamento della Matematica di base.
Non mi riferivo certo a te.
Ad ogni modo, per dimostrare che la circonferenza $Gamma$ ha area nulla basta prendere le successioni $(P_n^1)$ e $(P_n^2)$ costituite, rispettivamente, dai poligoni regolari inscritti e dai poligoni regolari circoscritti alla circonferenza e considerare le differenze $P_n^2\setminus P_n^1$: tali differenze sono insiemi misurabili (poichè ognuna è l'unione di un numero finito di triangoli che non si sovrappongono) di cui è più o meno facile calcolare l'area, ed inoltre risulta, per ogni $n \in NN$, $Gamma \subseteq P_n^2\setminus P_n^1$.
La tesi la ottieni facendo vedere che $lim_n m(P_n^2\setminus P_n^1)=0$ e ricordando le proprietà della misura esterna.
Non mi riferivo certo a te.
Ad ogni modo, per dimostrare che la circonferenza $Gamma$ ha area nulla basta prendere le successioni $(P_n^1)$ e $(P_n^2)$ costituite, rispettivamente, dai poligoni regolari inscritti e dai poligoni regolari circoscritti alla circonferenza e considerare le differenze $P_n^2\setminus P_n^1$: tali differenze sono insiemi misurabili (poichè ognuna è l'unione di un numero finito di triangoli che non si sovrappongono) di cui è più o meno facile calcolare l'area, ed inoltre risulta, per ogni $n \in NN$, $Gamma \subseteq P_n^2\setminus P_n^1$.
La tesi la ottieni facendo vedere che $lim_n m(P_n^2\setminus P_n^1)=0$ e ricordando le proprietà della misura esterna.
Grazie a tutti!
Dissonance il cerchio pieno è misurabile in quanto chiuso.. o mi sbaglio?
Dissonance il cerchio pieno è misurabile in quanto chiuso.. o mi sbaglio?
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